Entre Nombres et Objets

Faire des maths

Le problème des maths en France, réside dans le programme d’enseignement scolaire qui s’efforce uniquement, de classer et de sélectionner les élèves pour les conduire (avec souffrance) à l’élitisme. C’est pourquoi tant de personnes sont traumatisées par les maths ou simplement insensibles à l’intérêt primordial de la réflexion mathématique (voir Education et paradigme).

Les maths appartiennent à la science (langage), à la philosophie (heuristique), à l’ésotérisme (réduction), à la sociologie (statistique), à la médecine et à tous les domaines envisagés comme SAVOIR qui structurent un « point de vue » de connaissance relative. Les maths peuvent constituer un domaine d’étude à part, c’est à dire que l’on peut uniquement réfléchir dans l’abstrait ou bien projeter concrètement une réflexion mathématique. Tout dépend des objets mathématiques qui sont pris en compte et de la problématique qui est considérée.

Justement, le simple fait de compter, c’est faire des maths. L’art de compter, c’est l’histoire des mathématiques que les toutes les civilisations de la planète ont pût écrire/graver/signifier sur des os, de la pierre, du sable, de l’argile, du papier…

L’art de compter

Depuis quand l’humanité fait-elle des maths ? Depuis 30 000 ans (Cro-Magon), 50 000 ans (Néanderthal), 500 000 ans ou 1 million d’années c’est difficile de l’envisager et de répondre. Depuis que l’homme existe, il fait des maths, pour compter le nombre de personnes à nourrir dans le clan. Les nombres sont devenus tellement abstraits qu’on a fini par oublier le temps de leur simplicité humaine. L’histoire de la numérisation peut être schématisée dans la durée nécessaire qui sépare l’utilisation du chiffre 1 et du chiffre 0. Dans notre société mondialisée et informatisée, toutes les informations qui circulent (texte, image, vidéo…) dans les machines sont codées par une combinaison de Zéro et de Un (langage binaire).

Le Un est élémentaire, pour chasser dans les temps primitifs, le clan repère une proie, une bête, un bison et parfois deux, l’engouement est deux fois plus grand pour obtenir deux fois plus de nourriture… Le Un, le Deux, le Trois,…, sont des objets élémentaires que l’on considère « sans forcer » dans l’observation quotidienne de notre environnement. Mais le Zéro n’est pas innée dans notre conception élémentaire des nombres et de l’art de compter. Le Zéro représente le rien, le néant… Ce sont les civilisations de l’Inde qui, habituées avec l’abstraction mythologique et la notion de Pralaya (l’Univers non-manifesté), ont inclus dans leur système de numération le Zéro.

A priori, tous le monde a appris à compter sur ses doigts (individus et civilisations) c’est pourquoi la plupart des systèmes de numération actuels sont en base 10. 10 doigts, 10 chiffres (graphismes différents) et tous les autres nombres (144, 666…) sont générés à partir des 10 premiers d’où le terme de base 10. Certains peuples ont utilisés une base 12, d’autres la base 20 comme les Mayas, les Aztèques, les Celtes et les Basques car ils ont constatés (sans doute) qu’on pouvait également utiliser les orteils pour compter.

Les Sumériens ont inventés l’écriture puis les Babyloniens ont écris pour la première fois le Zéro, avec leur système de numération qui était en base 60. Et depuis plus de 5000 ans, nous continuons à compter les heures (60 minutes), les minutes (60 secondes) et les secondes en base 60. De plus, le cercle comme objet mathématique particulier (symbole de perfection), est partagé en 360 degré (60×6) et nous continuons à l’utiliser ainsi, c’est l’héritage en base 60, de la civilisation Sumérienne.

Entre 20 000 et 35 000 ans, de nombreux radius (os) possèdent des séries d’encoches et ils constituent certainement les plus vieilles machines à compter que l’archéologie à déterrer de notre lointain passé. Il est évident que nos ancêtres pratiquaient une comptabilité lorsque des bâtonnets (encoches) sont retrouvés sur les parois rocheuses des cavernes préhistoriques à côté de diverses silhouettes animales. I, II, III, V ou X sont des représentations élémentaires d’un système numéral primitif qui était utilisé encore par les bergers alpins, autrichiens, hongrois (du XIXe s.) comme le faisait jadis leurs homologues celtes, toscans, dalmates…

Seul l’invention du FEU entretenu (+400 000 ans) peut rivaliser avec l’ancienneté et la continuité d’utilisation d’une technique humaine primitive comme l’est l’Art de Compter.

Exemple avec le chiffres 5 – Histoire Universelle des chiffres, de Georges Ifrah

Les objets mathématiques

Au cours du temps, l’art de compter s’est développé/complexifié pour atteindre des concepts élevés dans le domaine de la pensée. Je ne parle pas de mathématiques d’un point de vue technique, calculatoire ou analytique mais des mathématiques comme maniement d’objets conceptuels pour traduire (ou pas) une réalité imaginée.

La représentation des différents objets en mathématique nous a conduit à structurer un langage formalisé. Mais avant de considérer cette formalisation, il faut objectiver c’est à dire discerner, classer, ordonner et séparer les éléments/objets entre eux pour mieux les comprendre.

Les objets ordinaires (ou de Pythagore)

Les objets ordinaires représentent l’échelle des entiers naturels 1, 2, 3,…, n,… comme l’expression analytique d’une droite formalisée par y = ax + b avec la « pente de la droite » et b l’ordonnée à l’origine. Si nous étions en vélo, lorsque augmente, la pente est plus difficile à gravir. Une forme géométrique de base comme un carré, un rectangle, un cercle sont des objets ordinaires. Il existe des règles numériques pour écrire les nombres, ce sont les bases citées plus haut, mais également des règles algébriques pour manipuler l’expression analytiques des équations de droites tout comme il existe des axiomes (considérations élémentaires) en géométrie qui permettent d’édicter des règles, des lois d’utilisation et de mesure des diagonales dans un carré par exemple.

Les objets critiques

Pour les mathématiciens, les objets critiques sont des obstacles à franchir pour affiner la compréhension que nous avons des objets/concepts. Par exemple le nombre pi (π) naturellement présent dans la relation entre le diamètre d’un cercle et sa circonférence est un objet critique car la détermination de ses décimales est infini et elles ne possèdent pas de périodicité dans leur succession d’arrivée. Un autre objet critique est le prototype des nombres imaginaires nommé i qui est égal à la racine carré de -1. Alors qu’au collège on apprend que la racine carré d’un nombre négatif n’existe pas, nous avons là i = √(-1). On peut légitimement se demander pourquoi inventer un nombre i qui « sort » de l’ensemble des nombres réels. Et bien simplement parce que lorsqu’un obstacle se présente à la résolution d’une équation, les mathématiciens inventent un « nouvel objet » qui permet d’en trouver la solution. Les maths sont simples non ? Pourquoi doit-on rester bloqué dans un problème qui n’a pas de solution ? Il suffit d’inventer un objet critique qui permettra de trouver la solution mais en sortant de l’ensemble des nombres réels pour entrer dans l’ensemble des nombres imaginaires. Ainsi pouvons-nous résoudre maintenant des équations du deuxième degré dont le discriminant est négatif.

Les objets critiques sont donc plus complexes que les objets ordinaires. Et c’est là toute la beauté des mathématiques lorsque plusieurs objets critiques comme le nombre imaginaire i, le nombre pi (π) et la fonction exponentielle sont réunis dans la célèbre formule d’Euler : exp(iπ)=-1 ; trois objets critiques qui donnent le reflet négatif de l’entier positif +1. Et là je dois dire, qu’épistémologiquement, c’est incompréhensible d’une point de vue analytique et rationnel mais d’un point de vue des faits et de la réalité existentielle de cette relation, c’est tout simplement BEAU car cela appartient à une vérité mathématique.

Les objets distingués (ou de Boole)

Le triangle de Boole associe 3 nombres particuliers comme critères particuliers pour discerner et s’extraire des objets ordinaires et critiques. Les 3 objets distingués de Boole sont le 1, le 0 et l’infini noté ∞ :

1

0   →   ∞

Les objets ordinaires sont infinis et les objets distingués sont au nombre de 3. Peut-être que ce nombre de 3, à une certaine époque, comme celle de Leibniz, a un rapport non affirmé avec la trinité des religions dans le monde. De plus, les objets de Pythagore (ordinaires) obéissent aux tables de Lois comme la multiplication par exemple (2×3=6) ; alors que les objets de Boole (distingués), par opposition, sont au dessus des lois car le 0 représente l’élément neutre de l’addition et le 1 l’élément neutre de la multiplication et pour l’infini il s’agit d’une logique implicite qui le place au dessus de tout autre nombre n :

n + 0 = n

n x 1 = n

n + ∞ = ∞

L’algèbre de Boole est à la base du fonctionnement logique des informations qui circulent dans les circuits imprimés de nos systèmes informatiques. Une Table de Vérité est :

  • pour un élément p, son contraire est non p :
    • si p=0 alors non p=1
    • si p=1 alors non p=0
  • Il est question là d’analyse binaire, de VRAI et de FAUX, de TOUT et de RIEN… EN philosophie, on parle de manichéisme. Cependant les objets de Boole sont à la base des fonctions logiques dans nos système informatiques.

Les objets de Bolzano

Peut-être qu’il existe des objets mathématiques qui se situent entre les objets ordinaires et les objets distingués, ce sont les objets amphibies de Bolzano.

Dans son livre les paradoxes de l’infini, Bolzano énonce un point de vue essentiel dans l’approche des mathématiques, il s’agit d’un nouveau paradigme. En effet,  dans la notion de bijection, réside un paradoxe entre la quantité infinie des entiers naturels et l’autre quantité infinie des nombre pairs. La bijection est l’association un à un des éléments de deux ensembles.

  • Les entiers naturels : 1, 2, 3, 4, …, n, … sont en nombre infinis
  • Les nombre pairs : 2, 4, 6, 8, …, 2n, … sont également en nombre infinis
  • Le paradoxe réside dans l’infinité des nombres pairs qui est « deux fois plus petite » que l’infinité des nombres entiers.

Lorsqu’il s’agit de comparer des infinis entre eux, et de les classer/ordonner, nous nous trouvons dans les objets de Bolzano, c’est à dire dans un paradoxe pour la pensée et la compréhension conceptuelle de la notion de l’infini en mathématique. La vieille tradition grecque des mathématiques est mise en défaut car l’axiome d’Euclide affirmant que « le tout est plus grand que la partie » est FAUX. Ainsi, les objets de Bolzano sont comme des objets distingués, c’est à dire au dessus des lois, mais également en nombre infini comme les objets mathématiques ordinaires.

Les nombres transfinis

Ces nombres là représentent la structuration effectuée par Cantor sur les objets de Bolzano en lien avec les autres objets mathématiques. Les nombres transfinis ont un caractère distingué comme 0, 1 et ∞ et ils sont en nombre infini comme les objets ordinaires. Ainsi l’infini se dédouble en deux formes du Nombre :

  • les ordinaux infinis
  • les cardinaux infinis

L’école de Pythagore avait découvert que tout nombre réel n’est pas nécessairement rationnel. Le nombre √2 issu de la diagonale d’un carré de côté 1 est un nombre irrationnel (il n’est pas égal à un rapport m/n avec m et n des entiers naturels). Comme son nom l’indique, il pose un problème dans la rationalisation de la conceptualisation mathématique de la réalité. En philosophie, cela n’est pas un problème, mais dans la théorie initiale des mathématiques grecques, les nombres irrationnels provoquaient des situations inquiétantes (psychologiquement et philosophiquement) dans la valeur des mathématiques comme cela a pu exister au Moyen-âge avec l’utilisation des nombres négatifs… Pythagore savait donc que les nombres irrationnels appartiennent aux nombres réels au même titre que les nombres rationnels qui n’en constitue qu’un partie. On revient sur la notion de la partie et du tout. Il y a là un problème d’inclusion des classes entre elles du type A ⊂ B.

Cantor a mis de l’ordre dans la notion d’ensemble. Un ensemble est donc un objet mathématique défini par :

  • une puissance et une contenance
    • La puissance d’un ensemble est le nombre cardinal de ses éléments. Dans un ensemble il peut exister un multitude d’ordres différents de chacun de ses éléments (ordinal) mais le cardinal reste invariant.
    • La contenance est la mesure ou la longueur considérée d’une droite par exemple pour un segment entre 0 et 1, la longueur du segment est de 1. Sachant qu’un segment est constitué d’un ensemble de point (une infinité même), la puissance (le nombre de points) de cette ensemble est infinie mais la contenance (la longueur) est finie.
  • un cardinal doublé d’un ordinal.

Quel est la différence entre le cardinal et l’ordinal ? Revenons sur l’art de compter et l’action primitive des mathématique sur les doigts de la main.

Représentations « cardinales » des 4 premiers nombres

L’expression cardinale d’un nombre est donc la répétition d’un symbole étalon (cailloux, doigts, encoches…). Alors que pour qualifier d’ordinal, on associe à chaque nombre un symbole original (mots, objets, signes…).

Représentations « ordinales » des 4 premiers nombres

{Images issues du livre sur l’Histoire Universelle des chiffres, de Georges Ifrah}

Ainsi, sur la notion des ensembles, en qualité de puissance et de contenance (théorie de la mesure de Cantor, Riemann, Jordan, Borel et Lebesgue), nous obtenons le Triptyque Z de Cantor :

  • Paradoxe 1 : la puissance des entiers naturels N est la même que celle des rationnels Q
  • Paradoxe 2 : La puissance des nombres rationnels Q est dépassée par la puissance des réels R
  • Paradoxe 3 : La puissance des puissances de R (R au carré, R au cube…) est la même que la puissance de R.

IL existe donc une « différence de potentiel » des ensembles telle que R / N (paradoxe 2).

Par exemple si l’ensemble E contient les lettres a et b : E = {a, b} ; alors les parties de E ou son ensemble-puissance est P(E) qui contient 4 éléments :

P(E) = {{a}, {b}, {a,b}, {∅}}

Si pour un ensemble E, on note Φ(E) la puissance de E et M(E) la contenance (mesure) de E, nous avons, après l’abstraction/démonstration de Cantor :

La puissance de E est toujours surpassée par la puissance de P(E) qui est égale à : 2Φ(E)

Les conséquences philosophiques et épistémologiques sont très importantes puisque la partie est aussi grande que le Tout… De tout temps, la partie et le tout ont conduit à des théories intéressantes comme celle du nombre d’or avec Euclide quatre siècles avant notre ère. Déjà, cher lecteur, si tu es arrivé jusqu’à là en maintenant ta concentration alerte, c’est bien. Les mots étaient simples à comprendre mais les concepts de plus en plus complexes à assimiler surtout lorsque les paradoxes interviennent. Lao Tseu disait : « un paradoxe n’est que la mauvaise formulation d’un problème »

Le nombre d’Or

Le nombre d’or est présent partout dans la nature, dans l’agencement des graines de tournesol, dans les proportions géométriques d’une étoile de mer, dans toutes les spirales logarithmiques du type escargots, tourbillons, tornades, galaxies… Les mathématiciens s’interrogent : La nature connaît-elle les mathématiques ? Sachant que les galaxies existent avant l’homme, l’humanité n’invente pas les mathématiques mais elle ne fait que redécouvrir les lois des mathématiques. Ce sujet est vaste philosophiquement parlant.

Mathématiquement, le calcul du nombre d’or émerge de la réflexion des grecs lorsqu’il s’agit de considérer l’harmonie entre le Tout et la partie.

Le premier texte qui parle du nombre d’or est écrit par Euclide (-325, -265) dans la troisième définition du Livre IV de ses Eléments :

se dit divisé une ligne droite en extrême et moyenne raison quand le tout est à la partie, ce que la grande est à la petite

Une des grandes forces des mathématiques, c’est de passer du langage courant (parlé, écrit) au langage formel qui utilise des variables x indéterminées permettant de résoudre un problème après sa mise en équation.

La mise en équation est la clé des sciences formelles. Il s’agit d’identifier des variables (le moins possible) au contexte et aux éléments du problème posé. Par exemple, pour le nombre d’or et la phrase d’Euclide ci-dessus :

  • le TOUT est associé à X
  • la grande PARTIE est associée à 1
  • par déduction, la petite PARTIE équivaut à (X-1)

La représentation schématique du problème posé est la suivante, avec une ligne de longueur X (le TOUT) et une grande partie de cette ligne qui vaut 1 :

Ensuite, pour la mise en équation, il faut structurer le passage d’un langage écrit vers un langage formel en « découpant » les éléments de la phrase considérée :

Langage

Parlé – Littéral Formel – Maths

Élément de la phrase

Le tout est (égal) à la partie

X = 1

Autre élément Ce que la grande est à la petite

1 = (X-1)

Finalement, la droite sera divisé en extrême et moyenne raison lorsque l’équation de la première expression formelle divisée par la deuxième sera résolue (pour obtenir la « divine proportion ») :

Cette équation est un polynôme du deuxième degré, sa résolution exige le calcul du discriminant qui, ici, est égal à 5. (Remarque : lorsque le discriminant est inférieur à 0, il faut faire intervenir les nombres complexes/imaginaires).

La résolution de cette équation de degré 2 donne 2 solutions, une positive nommée le nombre d’or :

et une autre négative :

Les solutions de cette équation représentent des valeurs particulières qui sont considérées depuis plus de 2000 ans comme des « PROPORTIONS HARMONIEUSES » que l’on retrouve dans la nature.

Les deux solutions sont composées avec un nombre irrationnel (qui dépasse la raison humaine). Un nombre est irrationnel lorsqu’il ne peut pas être mis sous la forme d’une fraction de deux nombres entiers.

A la renaissance, le mathématicien Pacioli parle de « divine proportion » pour caractériser le nombre d’or. L. da Vinci reprendra cette définition puis W. Blake puis au XXe siècle l’ensemble des disciplines de l’art intègrent dans leurs travaux « le nombre d’or » : architecture, design,…

La renaissance est le début (en peinture) de la théorisation de la perspective (géométrie projective) pour représenter le REEL. B. ALBERTI (1404-1472) qui écrit le Traité de la peinture et qui fonde les bases méthodologiques de travail pour Da Vinci, Dürer… disait : « le premier pré requis pour un peintre est de connaître la géométrie »

Exemples : La Joconde, Vénus (Boticelli), la cène, l’architecture bolivienne, espagnole…

Auteur de l’article : Patrice PORTEMANN