Les découvertes et les progrès en mathématique sont liées aux développements de la formalisation des sciences appliquées dans le domaine de la physique (les 4 éléments), de l’astronomie (trajectoire des corps célestes), du commerce (les nombres relatifs), de l’électronique (théorie de l’information)…

• (Antiquité) Description des différents systèmes de comptage.
• Les premiers modèles géométriques et leur utilisation au quotidien.
• Les polyèdres (géométrie et harmonie numérique).
• Les fonctions, les dérivées et l’étude aux limites.
• Les probabilités.
• Les nombres (entiers naturels, rationnels, irrationnels, complexes…)
• L’analyse et les fonctions complexes.
• La conférence de Hilbert (1900) et la géométrie non-euclidienne.
• Le formalisme vectoriel de Dirac et la mécanique quantique
• L’algèbre de Boole et les outils mathématiques pour l’électronique.

Origine humaine, hasardeuse ou divine ?

La question n’est pas dénuée de sens si l’on tient compte du fait que les mathématiques présentent une ambiguïté :

• Soit les mathématiques sont « connues/utilisées » par la nature, avant le règne humain qui redécouvre par la suite, les lois harmoniques…
• Soit les mathématiques sont inventées par le règne humain et les correspondances employées structurent notre perception de la réalité ou entretient notre illusion d’un monde basé sur des lois harmoniques…

Dans tous les cas, au final, les mathématiques décrivent des lois harmoniques… Pourquoi la nature est-elle harmonique dans ses proportions ? Spirales et nombres se côtoient pour dessiner la beauté naturelle.

La didactique des mathématiques, c’est l’intérêt qui résulte d’une compréhension aisée ne nécessitant aucun niveau préalable. Tout le monde peut comprendre les maths, il suffit, pour cela, d’en visualiser le sens associé aux symboles.

Processus créatifs

 D’un point de vue psychologique, une représentation quaternaire peut émerger des processus créatifs en maths :

• Préparation ;
• Incubation ;
• Illumination ;
• Vérification ;

La préparation (1) concerne le motif sur lequel on « pose sa réflexion » à partir d’éléments connus. L’incubation (2) permet à l’inconscient ou à tout autre phénomènes intuitifs ou imaginatifs de stimuler la pensée créatrice suffisamment claire et froide pour discerner « le subtil de l’épais ». Mais la pensée doit (également) être assez « chaude pour embraser » les éléments assemblés qui dégagent finalement une lumière qui éclaire et illumine (4) l’espace obscur nouvellement découvert. Dans toute approche créatrice, il faut apprendre à marcher seul, et dans le noir. C’est bien dans le creuset obscur de soi-même que les idées lumineuses émergent de la conscience humaine. Enfin, la vérification (4) permet de valider (ou pas) les résultats obtenus.

Pour certains psychologues et pour Poincaré aussi, le processus créatif émerge d’une posture nouvelle face à un problème, comme une nécessité de transgresser l’interprétation conventionnelle et de dépasser les représentations habituelles par un détachement nécessaire à l’éloignement suffisant. Et une persistance réflexive pour résoudre le problème en apportant une nouvelle solution, un nouveau point de vue et donc une vision nouvelle du monde (lorsque la problématique est systémique) et finalement un éclairage nouveau des perceptions humaines qui en prennent conscience.

La créativité est au cœur du problème de la vie… Vie et créativité sont deux termes synonymes.

Définition de l’heuristique

Une approche classique des mathématiques (comme en géométrie euclidienne) donne une image rigoureuse de la science car l’analyse est systémique et déductive. Mais le travail en mathématique concerne également le cadre d’une expérimentation vérificatrice initiée par un processus inductif nécessaire aux méthodes de créativité.

Les processus d’analyse de l’inventivité et de la créativité en mathématique porte le nom d’Heuristique. L’heuristique cherche à comprendre les mécanismes du renouveau théorique. Originaire du grec heuristekê, l’art de trouver, les heuristiques désignent les techniques d’aide à la découverte.

Les différentes variantes de ces techniques sont :

• Pour le philosophe, le philologue et l’historien : hypothèses émises à titre provisoire pour aider à la recherche de faits saillants ;
• Pour le pédagogue : méthode qui fait découvrir aux élèves ce qu’on souhaite leur enseigner ;
• Pour l’informaticien : approche décisive pour abréger certaines « boucles de computation » lorsqu’une formulation d’instruction devient trop vague pour qu’un algorithme (succession ordonnée de calculs élémentaires) trouve une solution en un temps raisonnable.

En mathématique, l’heuristique s’identifie à l’analyse globale des systèmes formels qui circonscrivent parfaitement l’ensemble des théorèmes mathématiques démontrables dans un système d’axiomes donné.

Pour Polya, les quatre phases fondamentales pour résoudre un problème mathématique sont :

• Comprendre le problème ;
• Élaborer un plan pour le résoudre ;
• Mener à bien ce plan ;
• Examiner la solution obtenue et revoir le processus.

Ces différentes étapes concernent l’approche des problèmes à trouver que Polya cherche à démontrer.

La transmission du savoir

Quel est la conséquence directe d’une transmission du savoir ? L’occident récupère les découvertes et le progrès technologique accumulé au cours des siècles en orient. De l’orient vers l’occident, à partir de la renaissance, les européens développent l’analyse matérialiste initiée par Aristote qui est, il faut l’admettre, principalement basée sur le principe de causalité et sur la logique du syllogisme. C’est au début du 20^ième siècle que le paradigme scientifique évolue radicalement… Si Aristote avait coupé les ponts avec les « idées de Platon », c’est le mathématicien anglais Roger Penrose qui, à la fin du 20^ième siècle, dans ses efforts pour unifier la mécanique quantique et la relativité retrouve « l’espace platonique ».

Les années 90

Au tout début des années 90 une calculatrice de lycée (Texas Instrument) pouvait déjà jongler/calculer avec des nombres, des lettres, des listes et des suites de caractères. Le potentiel de ces petites machines était déjà très impressionnant. En 1993, j’ai intégré une classe préparatoire (Maths sup TA) et certains camarades possédaient des Hewlett Packard pouvant communiquer entre elles sans fil, un bluetooth de l’époque. N’oublions pas que la communication radio débute à la fin du XIXe siècle avec Heinrich Hertz (circuit RLC) et Nicolaï Tesla (télécommande sans fil d’un petit bateau). Il ne faut pas s’étonner de l’ampleur actuelle de la technologie électronique dans nos sociétés du IIIe millénaire.

La révolution informatique fait passer le signal analogique (valeurs continues des variables) en signal numérique (système binaire de valeurs discrètes). En maths on parle de suites de nombres pour effectuer une somme de valeurs discrètes OU d’intégrales pour sommer des valeurs continues variant infinitésimalement (dx). Pendant mes années de faculté à Toulouse (physique théorique), les calculatrices programmables (alphanumériques) étaient interdites car déjà trop puissantes et à la fin des années 90, elles pouvaient calculer de manière symbolique c’est à dire sans valeur numérique associée aux variables utilisées. C’est à dire que la machine trouve la dérivée de x² en affichant 2x. La calculette pouvait également intégrer librement des programmes (open source en basic ou en pascal) comme la lecture des fichiers HTML avec du texte et des liens hypertextes. Et il y a déjà +20 ans que les calculettes peuvent faire cela !

Les données informatiques ont remplacé les fiches bristol et manuscrites dans les administrations puis Internet (milieu des années 90) a permis de généraliser la numérisation de l’information. La transcription de l’information analogique (fonction mathématique sinusoïdale utilisant des données continues) s’est accélérée dans la technologie du quotidien pour NUMERISER le MONDE sous forme de valeurs binaires et discrètes mathématiquement parlant.

Blockchain

C’est une chaîne de blocs, une suite de caractères pour stocker et transmettre des informations sans organe de contrôle mais pouvant être accessible au public librement comme une « feuille transparente de registres ». Le Bitcoin est basé sur une « blockchain primitive » pour faire un pied de nez au système bancaire et à sa déroute financière en 2008.

« Sans organe de contrôle » veut dire que l’information contenue dans la blockchain est décentralisée, elle n’appartient pas à « une entité particulière » qu’il s’agissent d’une entreprise, d’une banque ou d’un état… On parle de stabilité supposée des monnaies fiduciaires comme d’une blague avec la décohérence de l’or d’abord puis de la finance avec l’économie réelle et le fonctionnement aberrant des banques centrales comme la BCE ou la FED. Hypocrite, car la FED a créée, uniquement l’an dernier (2020), 20% de la somme totale de tous les dollars depuis sa création. Je rigole tant le fonctionnement des banques centrales est aberrant car elles injectent des liquidités sans outre mesure (décohérence avec l’économie réelle) en considérant que ce n’est pas un problème pour la stabilité du dollar ou de l’euro. C’est l’Asie surtout qui se marre.

Le problème des blockchains de première génération réside dans le temps de réponse du système, trop long et trop gourmand en énergie électrique. Deuxième et troisième génération, depuis +12 ans les petits génies de l’informatique dépassent progressivement ce genre de problème en créant de nouvelles « blockchains préminées », des relations inter-chaînes, des trustchains, des contrats intelligents, des oracles… et tout l’arsenal nécessaire pour libérer la force de frappe des données numériques décentralisées.

Les données décentralisées

Le langage humain est une chose, celui des oiseaux aussi d’ailleurs, c’est un langage comme en informatique, discret mais essentiel.

Le langage informatique, électrique, numérique et binaire est partout, même dans une tronçonneuse pour gérer son carburateur, il n’y a plus de « vis de richesse » pour régler le flux d’essence. Dans les cryptos de données, c’est pareil, il n’y a plus d’opérateur pour régler et adapter les comptes et « le gaz » existe aussi sous forme de cryptos sachant qu’une blockchain est un « livre ouvert » décentralisé et ça change tout. Le gaz ou le fioul (fuel) dans la cryptosphère représente « les jetons », la monnaie servant à indexer l’intérêt de la blockchain et payer aussi les frais de fonctionnement décentralisés. J’ai l’impression que personne ne comprend les cryptos car il s’agit plus d’une nouvelle gestion des données informatiques que de monnaies stricto sensu. Pour sécuriser et supporter les futures données informatiques, c’est la technologie des blockchains qui sera utilisée et non les serveurs privés, étatiques ou centralisés. Avec la crise sanitaire et la censure bien présente, les Puissants posent les cartes et ils tapent du poing. Les banques classiques peuvent trembler car les flux monétaires vont bifurquer de l’argent fiduciaire vers la monnaie numérique.

Les données décentralisées représentent l’avenir en terme de transparence et de diminution des frais bancaires pour faciliter les échanges internationaux et finalement libérer les moyens de paiement.

Cryptos, Stablecoin, NFT…

Les cryptos monnaies, les jetons, les tokens, les coins, les Stablecoins, les MFT… je préfère parler de cryptos données pour sensibiliser les néophytes à ce sujet. Ensuite, il faut apporter quelques précisions :

• les cryptos monnaies qui varient en valeur (Bitcoin, Ethereum, Tron…). Ces monnaies volatiles développent des écosystèmes de finance décentralisée, d’interopérabilité (public-privé) entre les services de cryptographie informatique et l’indexation concrète des « objets industriels ». Les gains sont imposables en France. PAYPAL permet les paiements en cryptos monnaies depuis 1 an.
• Les stablecoins qui ne varient pas car ils sont indexés sur une monnaie fiduciaire (USDT, USDC, Euro-L…). Non imposable en France. La plateforme internationale VISA (carte de paiement) vient de valider l’utilisation de l’USDC pour diminuer les frais bancaires. Le groupe Casino en France vient de créer un stablecoin Euro-L (non imposable) pour générer un fond fiduciaire vers des valeurs numériques basées sur la blochchain (franco-suisse) Tézos (imposable).
• les NFT (non fungible token) qui ne perdent pas de valeur (non fongible) car il s’agit d’une valeur unique par vérification cryptographique. Le monde de l’art s’empare de ses jetons pour certifier l’authenticité des œuvres. Non imposable en France.

Quelques cryptos

Le Bitcoin (BTC) est une ancienne cryptographie qui règle la mesure des autres cryptos… Pour connaître le classement et la valeur de chaque cryptos, voir : https://fr.advfn.com/cryptomonnaies en considérant la capitalisation boursière de chaque crypto. Le Bitcoin est 1er dans le classement avec une valeur de 57000 $ environ (08/04/21) par action et une capitalisation de +1000 milliards de dollars. C’est énorme, depuis 2008 ! Le monde change, la numérisation du monde a commencé depuis les années 90 et c’est inévitable maintenant, les flux monétaires fiduciaire « d’argent fiat », vont bifurquer vers la cryptographie informatique des monnaies car toutes « les informations industrielle ou sociale » représentent maintenant des données numériques, informatiques et électriques.

Ethereum (ETH) est 2ième dans le classement des cryptos. De début 2020 à début 2021, sa valeur a augmenté de 1000 % en passant de 170 € par action à 1700 €. Ethéreum et sa monnaie native ETH est une plateforme de finance décentralisée (blockchain de génération 2) qui est limitée maintenant par le temps de latence et le « gaz » (frais de fonctionnement) qui augmente.

Pour bien comprendre les cryptos données, il faut prendre conscience de la numérisation du monde. Toutes les données du fonctionnement de la société sont maintenant numériques, informatiques et électriques. Les QR code représentent un affichage unique d’identification aléatoire des objets physiques comme les codes barres d’ailleurs. Ces systèmes visuels sont les prémisses de la cryptographie informatique, décentralisée et basée sur des blockchains. Les cryptos données de 3ème génération sont des petits concentrés de « fintech », de nouvelle technologie financière. Mathématiquement, pour sécuriser les données informatiques, les matrices aléatoires, les graphes acycliques et toutes sortes d’objets mathématiques à la pointe permettent de coder les données. Tous les objets réels sont identifiés informatiquement, plus grave, avec la crise sanitaire, pour boire un café en France, bientôt nous allons flasher un QR code pour « sécuriser la santé des citoyens ». L’identification des personnes, la réservation d’une place de parking, d’un hôtel, toutes ces informations circulent via Internet et constituent la somme des données numériques.

• Siacoin (SC) : crypto donnée de 3e génération qui décentralise les futurs « cloud », espace disque de stockage de l’information basé sur Blockchain décentralisée. En moyenne, le stockage cloud décentralisé de Sia coûte 90% de moins que les fournisseurs historiques de stockage. De 0,00096 € début mars à 0,0027 € aujourd’hui 8 avril, l’augmentation est de 170 % environ. La progression de sa valeur est énorme.
• BitTorrent (BTT) : basé sur une entreprise créée en 2001 pour initier l’échange de fichiers P2P, d’ordinateur personnel à ordinateur personnel, racheté en 2008 par Justin Sun, entrepreneur technologique, ami du « patron d’Alibaba », il relie la blockchain BTT avec TRX, monnaie native de sa blockchain TRON. De 0,0015 $ mi-mars à 0,0090 $ ce jour (8 avril), l’augmentation de sa valeur est de 500 %.
• Dentwireless (DENT) : cette crypto donnée, participe à la gestion future et décentralisée des « données mobiles ». C’est à dire que cette blockchain incrémente la vente des minutes de communication sur téléphone mobile dans le monde.

On peut comprendre aisément que cette technologie des cryptos est au seuil de son « explosion » dans la sécurisation des données informatiques et du futur de la numérisation sociale et industrielle de la mondialisation actuelle.

Le web 3.0 est nommé ainsi par Dr Gavin Wood (co-fondateur d’Etherum) depuis 2014. Gavin a inventé certains composants fondamentaux de l’industrie de la blockchain notamment Solidity, Proof-of-Authority consensus et Whisper. Il dirige actuellement l’innovation sur Substrate et Polkadot. Le web 3.0 (Polkadot) permettra à un site web complètement décentralisé de donner le contrôle aux utilisateurs. C’est très important dans le contexte actuel de crise sanitaire pour asseoir, dans le futur, le « cul de la société mondiale » sur la chaise indépendante des citoyens dans le monde. Il faut comprendre ce qui se joue là, c’est la décentralisation des systèmes informatiques (échange de données) pour supporter l’échange des « jetons-monnaies » et des « données arbitraires-web 3.0 » à travers des blockchains sans être dépendant des serveurs dominants (GAFAM, serveurs étatiques, serveurs privé…) qui distribuent les données et en donnent accès (autorisation contrôlée).

1. Basculement des protocoles d’échange de données
   • Polkadot
   • Késako Blockchain ?
   • Avantages de Polkadot
2. Basculement monnaie fiduciaire/numérique (cryptos)
   • Crise financière et crise sanitaire
   • Exemple avec Etherum
   • La politique, l’argent et les puissants

Basculement des protocoles d’échange de données

Polkadot

Source : https://polkadot.network/

Polkadot est un environnement d’application multi-chaînes avec possibilités de registre et de calculs inter-chaînes. Polkadot peut transférer ces données à travers des blockchains publiques, ouvertes et sans autorisation ainsi que des blockchains privés et autorisés. Par exemple : une chaîne privée de dossiers académiques et autorisée d’une école pourrait envoyer une preuve à un contrat intelligent de vérification des diplômes sur une chaîne publique. Ce genre d’interaction inter-chaînes public-privé permettra d’accentuer la transparence dans notre société.

Polkadot est un réseau de blockchains hétérogènes (parachains et parathreads). Ces chaînes se connectent et sont sécurisées par la chaîne de relais Polkadot. Ils peuvent également se connecter à des réseaux externes via des ponts.

Qu’est-ce qu’une blockchain ?

C’est une suite de caractères, une chaînes de blocs encapsulés et sécurisés. Par analogie, Internet aussi est un protocole d’échange de données (caractères, blocs…) entre des serveurs « sécurisés » et des comptes clients. La différence est de taille cependant entre un réseau de blockchains hétérogènes et Internet contrôlé par des serveurs dominants et centralisés (GAFAM, Banques, Etats…) et la décohérence nécessaire pour s’extraire (les citoyens dans le monde) des collusions politico-financières à l’ancienne.

Avantages de Polkadot

• Traitement de transactions en parallèle : Les parachains permettent aux blokchains (privé ou public) d’avoir des caractéristiques spécialisées pour leur cas d’utilisation et la capacité de contrôler leur propre gouvernance.
• Technologie révolutionnaire : résolution de nombreux problèmes
• Un meilleur modèle de sécurité : Mutualisation des blockchains sécurisés, agrégation globale et appliquée à tous.
• Gouvernance en chaîne transparente : Le développement du protocole ne s’arrête jamais, processus clair et mécanisme de gouvernance sophistiqué pour établir un processus transparent. Les jetons DOT participent aux décisions de gouvernance (dépôt de propositions, vote et créations de liens… Les parachains sont libres de concevoir leurs propres mécanismes sans affecter les autres parachains.
• GRANPA : un algorithme de consensus fiable
• Feuille de route : Fournir une plateforme plus robuste en matière de sécurité, d’évolutivité, d’interopérabilité et d’innovation.

Basculement monnaie fiduciaire/numérique (cryptos)

Crise financière (2008) et crise sanitaire (2020)

La première crypto monnaie (Bitcoin) a été programmée (Satochi Nakamoto)) pour contrecarrer, de manière ironico-pertinente, l’aberration de la crise financière de 2008. Déjà +12 ans et les remèdes annoncés (les paradis fiscaux, la décohérence de l’économie et des finances…) par les responsables politiques ne sont que du vent comme leurs annonces de la COP21. L’état français a été condamné pour cela (préjudice écologique). Et la suite des condamnations va suivre car ils ont joué la même musique avec la crise sanitaire. Utilisant l’abstraction des données pour comparer (par analogies) la crise financière (2008) et la crise sanitaire (2020), c’est évident, les états occidentaux sont pervertis. Ils ont perdu la tête, en économie, en écologie, en géopolitique, en ingénierie sociale… Il y a quelque jours à peine, la justice Italienne a considéré que les masques (pour les mineurs) à l’école ne sont pas obligatoires contrairement aux directives étatiques. Il faut sentir le vent tourner et les parfums enivrants du changement. Des procès, en Allemagne, contre le test PCR et son encenseur et il devra se justifier devant les hautes cours de justice. France, Italie, Allemagne,… , les états sont condamnés ou ils vont l’être !

Exemple avec Etherum

J’ai misé 50€ sur Ethérum il y a un an pour en posséder 40% de la valeur du jeton. Cette nuit, je n’avais plus souvenir d’avoir verrouillé un « Take Profit » qui vend à 1000% d’augmentation (c’était un ordre en fait et pas un investissement). De février 2020 à février 2021, de 50€ à 500€ la valeur est passés en constatant (étonné) la progression d’Etherum. Sur la même période, imaginons d’avoir investi 1000€ sur le bitcoin, la valeur serait de 5000 € c’est à dire un (x5). Pour éthérum, la valeur a pris (x10), la progression est bien meilleure (que le bitcoin) et elle révèle les changements des civilisations contemporaines, la décentralisation des systèmes informatiques et le pari de faire bifurquer l’argent fiduciaire des banques centralisées vers les blockchains des cryptos monnaies que l’on peut miner ou pas, maintenant, comme tous autres relations inter-chaînes avec l’évolution des protocoles d’échange de données à venir pour en structurer le futur Internet, le web 3.0.

Si l’on compare (par an) les 1000% d’augmentation du jeton Etherum avec les 0,5% du livret A, je me marre. Et en plus, les responsables politiques supputent à demi mots que l’épargne des français peut et/ou doit être taxé pour éponger la dette du COVID et effacer l’écriture comptable de leur mauvaise gestion de la crise. Attitude cynique messieurs et mesdames les gouvernant.e.s, vous êtes démasqué.e.s.

La politique, l’argent et les puissants

Alors bien sûr, l’intelligence des gouvernant.e.s est supérieure à la notre, ils ont fait des études poussés et les réseaux qu’ils côtoient sont puissants. Il y a les réseaux influents (humains) et les réseaux d’échanges libres qui se mettent en place pour la future plateforme Internet, pour les échanges de monnaie physiques et locales, pour la décentralisation des systèmes informatiques, pour les associations indépendantes de régulation des états, les RIC… Et on verra la « tronche des dirigeant.e.s » lorsqu’ils prendront conscience que les ficelles qu’ils tirent sont cassées par le peuple souverain dans le monde.

Cher.e.s Gouvernant.e.s, si vous n’avez pas réussi à équilibrer le monde (climatique, économique, sociologique…), les inter-chaînes du futur de l’Internet web 3.0 le feront, en vous ôtant la gestion du Système par le basculement de ses masses monétaires vers la décentralisation des blockchains et des nouveaux contrats d’échange. Vous comprenez maintenant ?

Globalement, il existe la logique déductive de la physique des phénomènes et la logique inductive de la métaphysique du noumène. Curieusement, la méthode déductive est très proche de la perfection lorsque l’on constate son existence. Il me semble évident que cette méthode déductive est récupérée des chaldéens qui eux-mêmes l’héritent d’une connaissance (orale) pré-védique.

1. Il était une fois…
   • Raisonnement par l’absurde
   • Xénocrate
   • Les Stoïciens
   • Aristote
2. Le raisonnement par analogie

Il était une fois…

Dans sa formulation théorique, la logique des philosophes ioniens émerge de la perpétuelle recherche d’arguments pour expliquer le monde. La tradition mathématique est unanime pour affirmer que le développement de la méthode déductive est issu de l’école pythagoricienne vers la fin du VI^e et le milieu du V^e siècle. A partir de cette approche déductive, pleinement consciente de ses buts et de ses méthodes, la réflexion philosophique et mathématique qui émerge construit progressivement la logique formelle pour aboutir à la création des langages formalisés. Ce n’est qu’après le développement de la Théorie des ensembles au début du XIX^e siècle que la communauté s’efforce d’éclaircir la « nature des concepts de base des mathématiques ».

Il faut dire, qu’à l’époque des grecs, la réflexion mathématique est bien plus en avance que la réflexion philosophique. En tout cas, ceci est vrai à partir des grecs. Car les peuples plus anciens étaient certainement plus subtil pour aborder les différentiations cognitives.

Au VII^e et VI^e siècle (av. J.-C.), les « sages philosophes » développent de vagues raisonnements fondés sur des analogies approximatives. C’est donc à partir du V^e siècle que la pensée grecque s’évertue à étendre dans tout le champ de la pensée humaine (et cosmologique) les procédés d’articulation du discours mis en œuvre par la rhétorique et les mathématiques pour créer « la logique » au sens le plus général de ce terme. Parménide trouve la première affirmation du principe du tiers exclu et Zénon d’Élée les démonstrations par l’absurde. Ces deux penseurs dégagent des principes généraux qui peuvent servir de base à leur dialectique.

Raisonnement par l’absurde

C’est vers la fin du Ve siècle qu’un bel exemple du raisonnement par l’absurde affirme l’irrationalité de « racine carré de 2 ». Globalement, ce sont donc les sophistes (Ve siècle) qui développent l’art oratoire et l’analyse du langage.

Xénocrate

énocrate considérait la logique comme une partie de la philosophie. Les deux autres parties étaient la philosophie naturelle ou la physique (physis en grec) et la philosophie morale ou éthique. Ainsi, la logique est la partie de la philosophie qui concerne la raison. Pour Aristote, c’est différent, les représentants de son école nommaient traditionnellement l’Organon qui signifie « instrument », les outils de la philosophie qui incluait globalement la logique. Ainsi, pour les aristotéliciens (deux ou trois siècles après Aristote), la logique n’est pas une partie de la philosophie, mais un instrument pour la conduire à bien. En fait, Aristote ne parlait pas de logique même s’il s’efforcer de codifier les règles des « discussions » tout en précisant les règles des raisonnements scientifiques. Aristote parlait « d’analytique » et non de logique.

Les Stoïciens

Après Xénocrate, les stoïciens définissent avec plus de précision le contenu de la logique. Pour eux, la logique comprend trois disciplines :

• la dialectique comme discours et raisonnements par questions/réponses, Socrate était un spécialiste de ce genre de discours ;
• la rhétorique comme discours et raisonnements continus ;
• L’idée d’une théorie de la connaissance (gnosis).

Dans les tous les cas, le raisonnement comporte deux composantes :

• Le signifiant qui est l’énoncé lui-même (celui qui parle)
• Le signifié qui résulte de ce que l’on comprend.

Celui qui parle signifie sa pensée en l’exprimant, les stoïciens disent que c’est l’objet de la pensée qui est signifié. L’étude des signifiés comprend la théorie des énoncés simples ou « propositions » et la théorie des raisonnements (énoncés) composés de plusieurs propositions que les grecs stoïciens nommaient « logique ».

L’analyse d’Aristote est plus simple et plus précoce que celle des stoïciens. Aristote ne distinguait pas le signifiant du signifié, il théorisait les énoncés simples et les règles qui permettent de tirer des conclusions valides en raisonnant. Il distingue un type particulier d’énoncé élémentaire, l’énoncé vrai ou faux. Il s’agit donc d’une « proposition » dont ses composantes sont le « sujet » et le « prédicat ». Pour Aristote, les pensées ressemblent aux choses, les mots parlés symbolisent les pensées et les mots écrits représentent les mots parlés. Je résume souvent cette « descente de l’abstrait dans le concret » par :

Les mots ne peuvent que limiter la nature, le sens et la portée d’une pensée.

C’est toute la difficulté du penseur qui souhaite « sortir de sa tête » les pensées impalpables qui flottent au dessus du nuage des petites choses connaissables.

Il y a toujours une réduction de la pensée lorsqu’elle est convertie en mots.

Dans cette perspective, j’imagine qu’Aristote élabore son système logique en désignant les formes valides de déduction qui permettent de réduire les raisonnements complexes aux formules les plus simples ; d’où le nom « d’analytique » qu’il définie. Aristote concentre donc son attention sur un type particulier de relations et d’enchaînements logiques, construisant ce qu’il appelle « le syllogisme. »

Aristote

Pour formaliser sa pensée, Aristote emprunte certainement aux mathématiciens, la notation des concepts ou des propositions à l’aide des lettres. Par exemple, et cela est connu par tous les collégiens du monde entier maintenant, une « valeur inconnue » dans un problème mathématique est représentée par la lettre « x » qu’il s’agisse d’une longueur à déterminer, d’un volume ou de tout autre chose.

Aristote utilise donc des « énoncés schématisés » comme « Tout A est B » ou « Quelque A est B ». Dans ces notations A est le « sujet » et B le « prédicat » ; ces deux lettres remplacent des concepts comme « homme » et « mortel » par exemple. Ainsi des « ensembles d’êtres » peuvent être associés à des concepts, c’est le point de vue de « l’extension » qui existait avant lui.

Par exemple, l’ensemble « A » est associé à « homme » et l’ensemble « B » est associé à « mortel » ; Aristote formalise donc la relation « Tout A est B » soit « Tout homme est mortel » ! Logique non ? Dans le langage formel des mathématiques, l’écriture est :

Cette relation comme « Tout A est B » est dit « de la compréhension » où B est envisagé comme un concept plus complexe que A. En effet, la notion « de la mort » est plus complexe que la notion « d’homme ». Le point de vue « de la compréhension » pose plus de problème dans le développement de la logique que le point de vue « de l’extension » surtout lorsque les relations interprètent des schémas où interviennent des négations.

Le syllogisme est donc un schéma abstrait de raisonnement basé sur la logique. En utilisation la formalisation du langage de la théorie des ensemble, nous avons :

Il est donc facile de généraliser des concepts complexes par des relations simples qui « prennent peu de place ».

Ainsi pour schématiser, dans le langage mathématique (de la théorie des ensembles) le syllogisme structuré par Aristote (à propos de la mortalité des grecs) est :

Logique non ? C’est justement le propos ! Aristote a également le mérite d’avoir distingué le rôle des propositions « universelles » de celui des propositions « particulières », première ébauche des quantificateurs. Dans le langage moderne, un quantificateur permet de symboliser/formaliser des expressions comme « pour tout », « il existe », « il existe un unique »… qui correspondent respectivement aux symboles :

Aristote reste donc, jusqu’au XVII^e siècle (ap. J.-C.), la référence dans la structure de l’argumentation logique. Même si les philosophes scolastiques ont apporté quelques contributions à la logique formelle, aucun progrès notable, enrichi (réellement) l’acquit des philosophes de l’Antiquité. Il faut dire que les philosophes négligent les études mathématiques et bloquent donc les progrès de la logique. En effet, les mathématiciens grecs poursuivent leurs recherches sur la route des Pythagoriciens et des successeurs comme Théodore, Théétète, Eudoxe… Et cela, sans se soucier de logique formelle car la souplesse et la précision acquise dès cette époque par le raisonnement mathématique est très développé quand on le compare à l’état rudimentaire de la logique aristotélicienne. Et lorsque la logique dépasse ce stade, elle se laisse guider dans son évolution par les nouvelles acquisitions mathématiques.

Le raisonnement par analogie

 Puisque la formalisation du langage est maintenant acquise, il est aisé de comprendre l’expression logique du raisonnement par analogie.

« C est à D comme A est à B ».

Il permet de découvrir le 4^e terme D connaissant les trois autres ; ou de découvrir la relation entre C et D, connaissant les quatre éléments.

Exemple : la Table d’Émeraude d’Hermès Trismégiste (Égypte) : « Ce qui est en haut est comme ce qui est en bas et ce qui est en bas est comme ce qui est en haut pour les miracles d’une seule et même chose… »

l’intelligence artificielle (I.A.) est « une conséquence arbitraire » des résultats fournis par une machine. Comme un capteur qui nous donne déjà un résultat sur le monde physique. Pour un capteur de température par exemple, la technologie a évoluée depuis l’utilisation de la dilatation du mercure. Au delà des capteurs, l’I.A. (ou algorithme) analyse les données de multiples capteurs pour un robot par exemple. Il s’agit en fait d’un traitement des données. L’algorithme, au delà de ses boucles réitérés, contient nécessairement des SEUILS définis arbitrairement par le commanditaire du programme :

De nombreuses taches nécessaires au fonctionnement de la société humaine sont exécutées par des machines, stockées sur des serveurs et contrôlées par des algorithmes limités finalement par des seuils. Ce sont les seuils qu’il faut discerner pour gérer, à terme, l’autonomie des machines.

Contrairement à la robotique, le traitement intelligent des données en big data n’utilise pas de capteur. Dans le monde informatique, le capteur est notre lien avec la réalité car une mesure est effectuée. Même si l’on sait que la théorie de la mesure en quantique est plus complexe…

BIG DATA

De la quantité des données émerge l’intelligibilité du monde et le cerveau fonctionne ainsi lorsqu’on observe un paysage. Les cinq sens traite l’information du monde environnement. La lumière qui frappe la rétine de l’œil vibre plus de 100.000 milliards de fois par seconde. En quelques minutes, notre regard portée sur un paysage, en fonction de notre sensibilité, du lieu, des couleurs, de la topologie du lieu, émerge en nous une idée parfois simple, binaire même (j’aime ou j’aime pas ce paysage) ou plus complexe dans l’interrogation, l’expectative, l’indiscernabilité de la beauté ou de la profondeur observée, la prise de décision cérébrale n’est pas rationnelle ou formelle mais plutôt imaginative aussi.

Va-t-il pleuvoir dans l’heure ?

Le BIG DATA pour désigner les « grandes données », les banques de données souvent organisées en base de données comme les nombres qui le sont en base numériques. Pour prédire le temps, il faut :

• des données enregistrées sur la base des capteurs de température, de pression, de vitesse et d’orientation du vent… c’est le big data
• un modèle mathématique qui traite les données

Dans la prédictibilité du temps au quotidien, la situation est tellement complexe que l’I.A. c’est à dire le traitement calculatoire des données est essentiel pour obtenir un résultat plus ou moins fiable. L’atmosphère est constitué d’une infinité de particules de gaz et chaque particule possède un état particulier de température, pression, mobilité… S’il faut plusieurs équations pour modéliser l’état d’une particule, il en faut des milliards et des milliards de milliards si l’on souhaite mettre en équation toutes les particules de gaz dans l’atmosphère pour prédire le temps.

I.A. et Politique

Vendredi 4 décembre 2020, l’assistance virtuelle de Sberbank (banque russe) nommé Athena pose une question à Vladimir Poutine :

l’intelligence artificielle peut-elle devenir présidente ?

I.A. Athena de Sberbank

Et le président russe répond :

J’espère que non, au moins pour le moment. La réponse réside dans le non lui-même : tout ce qui est artificiel, y compris l’IA, n’a ni cœur, ni âme, ni compassion, ni conscience. Or ces caractéristiques sont extrêmement importantes chez les personnes auxquelles les citoyens confèrent des pouvoirs spéciaux pour prendre et mettre en oeuvre des décisions qui profitent au pays.

Vladimir Poutine 4/12/2020

Voir : https://fr.sputniknews.com/sci_tech/202012041044880040-poutine-explique-pourquoi-lintelligence-artificielle-ne-peut-pas-devenir-presidente/

I.A. et santé publique

Pour s’initier, d’un point de vue global, à l’analyse et au discernement des systèmes sociaux et des relations entre l’homme, la machine et le traitement des données en médecine, voir l’excellente vidéo du Dr Louis Fouché : Humain vs Chiffres et protocoles sur Planète 360

Malheureusement cette vidéo a été censurée le 5/12/2020 alors qu’elle était postée le 4/12/2020. Quelle est la liberté d’expression en France ? Elle n’existe pas, en tout cas, pendant cette crise sanitaire. Le Dr Fouché, diplômé d’état est-il un terroriste très dangereux pour supprimer sa pensée sur Internet ?

Bref, dans une autre vidéo plus ancienne (sur le SARS-COV2), il dit (45’9 ») :

La médecine est un art et pas un processus automatisable algorithmique

Dr Louis Fouché – France Soir, 3/11/2020

Qu’est-ce que la numérisation du monde ?

• Numérisation informatique : base mathématique 2
• Numérisation monétaire : base mathématique 10
• Numérisation temporelle : base mathématique 60

Pour lire l’heure, il y a 60 secondes dans une minute. Pour lire un texte sur internet, l’information circule codée sous forme de 0 et de 1, il n’y a donc que deux possibilités. L’IA du futur utilisera certainement la superposition des états quantiques dans l’implémentation des algorithmes… Mathématiquement, la logique floue est complexe et en physique théorique, l’intrication des états l’est d’autant plus.

Qu’est-ce qu’un algorithme ?

Gérard BERRY (Collège de France) résume cela parfaitement dans l’extrait audio :

La numérisation du monde est donc l’utilisation de l’information codée numériquement (base 2) et structurée par des algorithmes. Peut-on se passer de la numérisation du monde ? Peut-on se passer de l’assistance électronique des avions ? Je ne crois pas franchement, il faut faire avec et la prise de conscience émergente permet justement de transformer les valeurs de la société.

Quelles seront les valeurs du futur de l’humanité dans un monde numérisé ?

La question se pose et la réponse dépend des motifs à considérer. Que souhaitons-nous ? Quel est le sens commun du genre humain sur la planète ? Prospection philosophique du futur, les dès sont jetés et l’implacable force de rappel des ressorts climatique, économique, sanitaire, …, va se relâchée et on va prendre mal !

Alors oublions la confiance inhérente à notre constitution saine d’individu humain pour rejeter vivement le fait que les Puissants du monde nous veulent du BIEN. Oublions cela ! Le rêve d’un monde bienheureux devient un cauchemar. Imaginons un algorithme, et j’en appelle aux informaticiens qui lisent ce texte, imaginons une IA qui analyse les données mondiales en essayant de répondre aux questions suivantes :

• l’humanité est-elle heureuse sur Terre ?
• l’humanité perturbe-t-elle la Terre ?
• l’humanité respecte-elle les autres règnes de la nature ?

Et si l’on pousse la réflexion et qu’on demande à l’IA :

Une intelligence artificielle est-elle nécessaire pour permettre à l’humanité d’atteindre le bonheur, l’équilibre en elle-même et au sein des autres règnes de la nature ?

Un autre extrait audio Jean-Michel BESNIER (Sorbonne, Paris) pour bien définir le cadre de notre réflexion sociologique :

Alors quelles seront les valeurs du futur de l’humanité ? Et bien c’est simple, il faut les définir ensemble…

Faire des maths

Le problème des maths en France, réside dans le programme d’enseignement scolaire qui s’efforce uniquement, de classer et de sélectionner les élèves pour les conduire (avec souffrance) à l’élitisme. C’est pourquoi tant de personnes sont traumatisées par les maths ou simplement insensibles à l’intérêt primordial de la réflexion mathématique (voir Education et paradigme).

Les maths appartiennent à la science (langage), à la philosophie (heuristique), à l’ésotérisme (réduction), à la sociologie (statistique), à la médecine et à tous les domaines envisagés comme SAVOIR qui structurent un « point de vue » de connaissance relative. Les maths peuvent constituer un domaine d’étude à part, c’est à dire que l’on peut uniquement réfléchir dans l’abstrait ou bien projeter concrètement une réflexion mathématique. Tout dépend des objets mathématiques qui sont pris en compte et de la problématique qui est considérée.

Justement, le simple fait de compter, c’est faire des maths. L’art de compter, c’est l’histoire des mathématiques que les toutes les civilisations de la planète ont pût écrire/graver/signifier sur des os, de la pierre, du sable, de l’argile, du papier…

L’art de compter

Depuis quand l’humanité fait-elle des maths ? Depuis 30 000 ans (Cro-Magon), 50 000 ans (Néanderthal), 500 000 ans ou 1 million d’années c’est difficile de l’envisager et de répondre. Depuis que l’homme existe, il fait des maths, pour compter le nombre de personnes à nourrir dans le clan. Les nombres sont devenus tellement abstraits qu’on a fini par oublier le temps de leur simplicité humaine. L’histoire de la numérisation peut être schématisée dans la durée nécessaire qui sépare l’utilisation du chiffre 1 et du chiffre 0. Dans notre société mondialisée et informatisée, toutes les informations qui circulent (texte, image, vidéo…) dans les machines sont codées par une combinaison de Zéro et de Un (langage binaire).

Le Un est élémentaire, pour chasser dans les temps primitifs, le clan repère une proie, une bête, un bison et parfois deux, l’engouement est deux fois plus grand pour obtenir deux fois plus de nourriture… Le Un, le Deux, le Trois,…, sont des objets élémentaires que l’on considère « sans forcer » dans l’observation quotidienne de notre environnement. Mais le Zéro n’est pas innée dans notre conception élémentaire des nombres et de l’art de compter. Le Zéro représente le rien, le néant… Ce sont les civilisations de l’Inde qui, habituées avec l’abstraction mythologique et la notion de Pralaya (l’Univers non-manifesté), ont inclus dans leur système de numération le Zéro.

A priori, tous le monde a appris à compter sur ses doigts (individus et civilisations) c’est pourquoi la plupart des systèmes de numération actuels sont en base 10. 10 doigts, 10 chiffres (graphismes différents) et tous les autres nombres (144, 666…) sont générés à partir des 10 premiers d’où le terme de base 10. Certains peuples ont utilisés une base 12, d’autres la base 20 comme les Mayas, les Aztèques, les Celtes et les Basques car ils ont constatés (sans doute) qu’on pouvait également utiliser les orteils pour compter.

Les Sumériens ont inventés l’écriture puis les Babyloniens ont écris pour la première fois le Zéro, avec leur système de numération qui était en base 60. Et depuis plus de 5000 ans, nous continuons à compter les heures (60 minutes), les minutes (60 secondes) et les secondes en base 60. De plus, le cercle comme objet mathématique particulier (symbole de perfection), est partagé en 360 degré (60×6) et nous continuons à l’utiliser ainsi, c’est l’héritage en base 60, de la civilisation Sumérienne.

Entre 20 000 et 35 000 ans, de nombreux radius (os) possèdent des séries d’encoches et ils constituent certainement les plus vieilles machines à compter que l’archéologie à déterrer de notre lointain passé. Il est évident que nos ancêtres pratiquaient une comptabilité lorsque des bâtonnets (encoches) sont retrouvés sur les parois rocheuses des cavernes préhistoriques à côté de diverses silhouettes animales. I, II, III, V ou X sont des représentations élémentaires d’un système numéral primitif qui était utilisé encore par les bergers alpins, autrichiens, hongrois (du XIXe s.) comme le faisait jadis leurs homologues celtes, toscans, dalmates…

Seul l’invention du FEU entretenu (+400 000 ans) peut rivaliser avec l’ancienneté et la continuité d’utilisation d’une technique humaine primitive comme l’est l’Art de Compter.

Exemple avec le chiffres 5 – Histoire Universelle des chiffres, de Georges Ifrah

Les objets mathématiques

Au cours du temps, l’art de compter s’est développé/complexifié pour atteindre des concepts élevés dans le domaine de la pensée. Je ne parle pas de mathématiques d’un point de vue technique, calculatoire ou analytique mais des mathématiques comme maniement d’objets conceptuels pour traduire (ou pas) une réalité imaginée.

La représentation des différents objets en mathématique nous a conduit à structurer un langage formalisé. Mais avant de considérer cette formalisation, il faut objectiver c’est à dire discerner, classer, ordonner et séparer les éléments/objets entre eux pour mieux les comprendre.

Les objets ordinaires (ou de Pythagore)

Les objets ordinaires représentent l’échelle des entiers naturels 1, 2, 3,…, n,… comme l’expression analytique d’une droite formalisée par y = ax + b avec a la « pente de la droite » et b l’ordonnée à l’origine. Si nous étions en vélo, lorsque a augmente, la pente est plus difficile à gravir. Une forme géométrique de base comme un carré, un rectangle, un cercle sont des objets ordinaires. Il existe des règles numériques pour écrire les nombres, ce sont les bases citées plus haut, mais également des règles algébriques pour manipuler l’expression analytiques des équations de droites tout comme il existe des axiomes (considérations élémentaires) en géométrie qui permettent d’édicter des règles, des lois d’utilisation et de mesure des diagonales dans un carré par exemple.

Les objets critiques

Pour les mathématiciens, les objets critiques sont des obstacles à franchir pour affiner la compréhension que nous avons des objets/concepts. Par exemple le nombre pi (π) naturellement présent dans la relation entre le diamètre d’un cercle et sa circonférence est un objet critique car la détermination de ses décimales est infini et elles ne possèdent pas de périodicité dans leur succession d’arrivée. Un autre objet critique est le prototype des nombres imaginaires nommé i qui est égal à la racine carré de -1. Alors qu’au collège on apprend que la racine carré d’un nombre négatif n’existe pas, nous avons là i = √(-1). On peut légitimement se demander pourquoi inventer un nombre i qui « sort » de l’ensemble des nombres réels. Et bien simplement parce que lorsqu’un obstacle se présente à la résolution d’une équation, les mathématiciens inventent un « nouvel objet » qui permet d’en trouver la solution. Les maths sont simples non ? Pourquoi doit-on rester bloqué dans un problème qui n’a pas de solution ? Il suffit d’inventer un objet critique qui permettra de trouver la solution mais en sortant de l’ensemble des nombres réels pour entrer dans l’ensemble des nombres imaginaires. Ainsi pouvons-nous résoudre maintenant des équations du deuxième degré dont le discriminant est négatif.

Les objets critiques sont donc plus complexes que les objets ordinaires. Et c’est là toute la beauté des mathématiques lorsque plusieurs objets critiques comme le nombre imaginaire i, le nombre pi (π) et la fonction exponentielle sont réunis dans la célèbre formule d’Euler : exp(iπ)=-1 ; trois objets critiques qui donnent le reflet négatif de l’entier positif +1. Et là je dois dire, qu’épistémologiquement, c’est incompréhensible d’une point de vue analytique et rationnel mais d’un point de vue des faits et de la réalité existentielle de cette relation, c’est tout simplement BEAU car cela appartient à une vérité mathématique.

Les objets distingués (ou de Boole)

Le triangle de Boole associe 3 nombres particuliers comme critères particuliers pour discerner et s’extraire des objets ordinaires et critiques. Les 3 objets distingués de Boole sont le 1, le 0 et l’infini noté ∞ :

1

↑

0   →   ∞

Les objets ordinaires sont infinis et les objets distingués sont au nombre de 3. Peut-être que ce nombre de 3, à une certaine époque, comme celle de Leibniz, a un rapport non affirmé avec la trinité des religions dans le monde. De plus, les objets de Pythagore (ordinaires) obéissent aux tables de Lois comme la multiplication par exemple (2×3=6) ; alors que les objets de Boole (distingués), par opposition, sont au dessus des lois car le 0 représente l’élément neutre de l’addition et le 1 l’élément neutre de la multiplication et pour l’infini il s’agit d’une logique implicite qui le place au dessus de tout autre nombre n :

n + 0 = n

n x 1 = n

n + ∞ = ∞

L’algèbre de Boole est à la base du fonctionnement logique des informations qui circulent dans les circuits imprimés de nos systèmes informatiques. Une Table de Vérité est :

• pour un élément p, son contraire est non p :
  • si p=0 alors non p=1
  • si p=1 alors non p=0
• Il est question là d’analyse binaire, de VRAI et de FAUX, de TOUT et de RIEN… EN philosophie, on parle de manichéisme. Cependant les objets de Boole sont à la base des fonctions logiques dans nos système informatiques.

Les objets de Bolzano

Peut-être qu’il existe des objets mathématiques qui se situent entre les objets ordinaires et les objets distingués, ce sont les objets amphibies de Bolzano.

Dans son livre les paradoxes de l’infini, Bolzano énonce un point de vue essentiel dans l’approche des mathématiques, il s’agit d’un nouveau paradigme. En effet,  dans la notion de bijection, réside un paradoxe entre la quantité infinie des entiers naturels et l’autre quantité infinie des nombre pairs. La bijection est l’association un à un des éléments de deux ensembles.

• Les entiers naturels : 1, 2, 3, 4, …, n, … sont en nombre infinis
• Les nombre pairs : 2, 4, 6, 8, …, 2n, … sont également en nombre infinis
• Le paradoxe réside dans l’infinité des nombres pairs qui est « deux fois plus petite » que l’infinité des nombres entiers.

Lorsqu’il s’agit de comparer des infinis entre eux, et de les classer/ordonner, nous nous trouvons dans les objets de Bolzano, c’est à dire dans un paradoxe pour la pensée et la compréhension conceptuelle de la notion de l’infini en mathématique. La vieille tradition grecque des mathématiques est mise en défaut car l’axiome d’Euclide affirmant que « le tout est plus grand que la partie » est FAUX. Ainsi, les objets de Bolzano sont comme des objets distingués, c’est à dire au dessus des lois, mais également en nombre infini comme les objets mathématiques ordinaires.

Les nombres transfinis

Ces nombres là représentent la structuration effectuée par Cantor sur les objets de Bolzano en lien avec les autres objets mathématiques. Les nombres transfinis ont un caractère distingué comme 0, 1 et ∞ et ils sont en nombre infini comme les objets ordinaires. Ainsi l’infini se dédouble en deux formes du Nombre :

• les ordinaux infinis
• les cardinaux infinis

L’école de Pythagore avait découvert que tout nombre réel n’est pas nécessairement rationnel. Le nombre √2 issu de la diagonale d’un carré de côté 1 est un nombre irrationnel (il n’est pas égal à un rapport m/n avec m et n des entiers naturels). Comme son nom l’indique, il pose un problème dans la rationalisation de la conceptualisation mathématique de la réalité. En philosophie, cela n’est pas un problème, mais dans la théorie initiale des mathématiques grecques, les nombres irrationnels provoquaient des situations inquiétantes (psychologiquement et philosophiquement) dans la valeur des mathématiques comme cela a pu exister au Moyen-âge avec l’utilisation des nombres négatifs… Pythagore savait donc que les nombres irrationnels appartiennent aux nombres réels au même titre que les nombres rationnels qui n’en constitue qu’un partie. On revient sur la notion de la partie et du tout. Il y a là un problème d’inclusion des classes entre elles du type A ⊂ B.

Cantor a mis de l’ordre dans la notion d’ensemble. Un ensemble est donc un objet mathématique défini par :

• une puissance et une contenance
  • La puissance d’un ensemble est le nombre cardinal de ses éléments. Dans un ensemble il peut exister un multitude d’ordres différents de chacun de ses éléments (ordinal) mais le cardinal reste invariant.
  • La contenance est la mesure ou la longueur considérée d’une droite par exemple pour un segment entre 0 et 1, la longueur du segment est de 1. Sachant qu’un segment est constitué d’un ensemble de point (une infinité même), la puissance (le nombre de points) de cette ensemble est infinie mais la contenance (la longueur) est finie.
• un cardinal doublé d’un ordinal.

Quel est la différence entre le cardinal et l’ordinal ? Revenons sur l’art de compter et l’action primitive des mathématique sur les doigts de la main.

Représentations « cardinales » des 4 premiers nombres

L’expression cardinale d’un nombre est donc la répétition d’un symbole étalon (cailloux, doigts, encoches…). Alors que pour qualifier d’ordinal, on associe à chaque nombre un symbole original (mots, objets, signes…).

Représentations « ordinales » des 4 premiers nombres

{Images issues du livre sur l’Histoire Universelle des chiffres, de Georges Ifrah}

Ainsi, sur la notion des ensembles, en qualité de puissance et de contenance (théorie de la mesure de Cantor, Riemann, Jordan, Borel et Lebesgue), nous obtenons le Triptyque Z de Cantor :

• Paradoxe 1 : la puissance des entiers naturels N est la même que celle des rationnels Q
• Paradoxe 2 : La puissance des nombres rationnels Q est dépassée par la puissance des réels R
• Paradoxe 3 : La puissance des puissances de R (R au carré, R au cube…) est la même que la puissance de R.

IL existe donc une « différence de potentiel » des ensembles telle que R / N (paradoxe 2).

Par exemple si l’ensemble E contient les lettres a et b : E = {a, b} ; alors les parties de E ou son ensemble-puissance est P(E) qui contient 4 éléments :

P(E) = {{a}, {b}, {a,b}, {∅}}

Si pour un ensemble E, on note Φ(E) la puissance de E et M(E) la contenance (mesure) de E, nous avons, après l’abstraction/démonstration de Cantor :

La puissance de E est toujours surpassée par la puissance de P(E) qui est égale à : 2^Φ(E)

Les conséquences philosophiques et épistémologiques sont très importantes puisque la partie est aussi grande que le Tout… De tout temps, la partie et le tout ont conduit à des théories intéressantes comme celle du nombre d’or avec Euclide quatre siècles avant notre ère. Déjà, cher lecteur, si tu es arrivé jusqu’à là en maintenant ta concentration alerte, c’est bien. Les mots étaient simples à comprendre mais les concepts de plus en plus complexes à assimiler surtout lorsque les paradoxes interviennent. Lao Tseu disait : « un paradoxe n’est que la mauvaise formulation d’un problème »

Le nombre d’Or

Le nombre d’or est présent partout dans la nature, dans l’agencement des graines de tournesol, dans les proportions géométriques d’une étoile de mer, dans toutes les spirales logarithmiques du type escargots, tourbillons, tornades, galaxies… Les mathématiciens s’interrogent : La nature connaît-elle les mathématiques ? Sachant que les galaxies existent avant l’homme, l’humanité n’invente pas les mathématiques mais elle ne fait que redécouvrir les lois des mathématiques. Ce sujet est vaste philosophiquement parlant.

Mathématiquement, le calcul du nombre d’or émerge de la réflexion des grecs lorsqu’il s’agit de considérer l’harmonie entre le Tout et la partie.

Le premier texte qui parle du nombre d’or est écrit par Euclide (-325, -265) dans la troisième définition du Livre IV de ses Eléments :

se dit divisé une ligne droite en extrême et moyenne raison quand le tout est à la partie, ce que la grande est à la petite

Une des grandes forces des mathématiques, c’est de passer du langage courant (parlé, écrit) au langage formel qui utilise des variables x indéterminées permettant de résoudre un problème après sa mise en équation.

La mise en équation est la clé des sciences formelles. Il s’agit d’identifier des variables (le moins possible) au contexte et aux éléments du problème posé. Par exemple, pour le nombre d’or et la phrase d’Euclide ci-dessus :

• le TOUT est associé à X
• la grande PARTIE est associée à 1
• par déduction, la petite PARTIE équivaut à (X-1)

La représentation schématique du problème posé est la suivante, avec une ligne de longueur X (le TOUT) et une grande partie de cette ligne qui vaut 1 :

Ensuite, pour la mise en équation, il faut structurer le passage d’un langage écrit vers un langage formel en « découpant » les éléments de la phrase considérée :

Finalement, la droite sera divisé en extrême et moyenne raison lorsque l’équation de la première expression formelle divisée par la deuxième sera résolue (pour obtenir la « divine proportion ») :

Cette équation est un polynôme du deuxième degré, sa résolution exige le calcul du discriminant qui, ici, est égal à 5. (Remarque : lorsque le discriminant est inférieur à 0, il faut faire intervenir les nombres complexes/imaginaires).

La résolution de cette équation de degré 2 donne 2 solutions, une positive nommée le nombre d’or :

et une autre négative :

Les solutions de cette équation représentent des valeurs particulières qui sont considérées depuis plus de 2000 ans comme des « PROPORTIONS HARMONIEUSES » que l’on retrouve dans la nature.

Les deux solutions sont composées avec un nombre irrationnel (qui dépasse la raison humaine). Un nombre est irrationnel lorsqu’il ne peut pas être mis sous la forme d’une fraction de deux nombres entiers.

A la renaissance, le mathématicien Pacioli parle de « divine proportion » pour caractériser le nombre d’or. L. da Vinci reprendra cette définition puis W. Blake puis au XXe siècle l’ensemble des disciplines de l’art intègrent dans leurs travaux « le nombre d’or » : architecture, design,…

La renaissance est le début (en peinture) de la théorisation de la perspective (géométrie projective) pour représenter le REEL. B. ALBERTI (1404-1472) qui écrit le Traité de la peinture et qui fonde les bases méthodologiques de travail pour Da Vinci, Dürer… disait : « le premier pré requis pour un peintre est de connaître la géométrie »

Exemples : La Joconde, Vénus (Boticelli), la cène, l’architecture bolivienne, espagnole…