Euclide compile les Éléments de géométrie, mais aussi le mouvement apparent des étoiles, la propagation rectiligne de la lumière, la réflexion par les miroirs et les notions de perspectives…

A cette époque, Alexandrie représente le centre scientifique le plus actif de la méditerranée. Euclide fut élevé à Athènes et il était considérait là bas comme le plus grand, son influence perdura dans l’histoire, jusqu’au cercle de Bourbaki (XX^e s. France) dont les mathématiciens adoptèrent comme devise : « A bas Euclide ! »

Les Éléments de la géométrie d’Euclide se composent de 13 livres :

• Livre I à IV : géométrie élémentaire ;
• Livre VII à X : questions numériques ;
• Livre XI à XIII : géométrie des solides.

Conceptualisation de la théorie mathématique

Construction partant d’un petit nombre de notions fondamentales (définitions) et d’assertions considérées comme évidentes (axiomes), en usant de raisonnements fondés sur la logique (méthodes déductives).

Les Éléments d’Euclide représentent la première œuvre de la littérature des mathématiques. Après la Bible et les œuvres de Lénine, les Éléments d’Euclide représentent le livre le plus édité et le plus traduit.

Avec ce document, Euclide fait la somme des connaissances mathématiques de l’époque. Il semble qu’il voulait composer une sorte d’encyclopédie qui puisse servir de manuel d’enseignement des « raisonnements logiques » appliqués aux mathématiques. Il souhaitait également présenter un modus operandi pour « apporter la preuve » que les résultats d’une théorie mathématique exigent au moyen d’axiomes et de règle de déduction.

Euclide enseigna à Alexandrie, une ville très florissante à l’époque. Euclide était un platonicien convaincu… c’est à dire que pour lui, les idées abstraites de Platon « dominent » les déductions rigoureuses et logiques d’Aristote. Euclide reprend les idées de Pythagore, les résultats d’Eudoxe et il associe la valeur de l’abstraction selon Platon avec la méthode rigoureusement déductive d’Aristote.

Les Éléments d’Euclide constituent une synthèse des connaissances géométriques de l’époque ordonnées par une logique cohérente et une rigueur déductive. Les Éléments sont divisés en XIII livres et, partant de notions communes (axiomes énonçant des évidences), Euclide formule cinq postulats qui fixent les règles du jeu puis, partant de là, il démontre 465 propositions ou théorèmes.

• Livre I à III
• Livre IV et X rassemblent les contributions de Théétète
• Livre XI inclut les propriétés métriques énoncés par Théétète concernant les polyèdres.
• Livre XII traite des volumes des prismes et des pyramides.
• Livre XIII présente tout ce qui a trait aux polyèdres réguliers.

Les mathématiciens actuels (comme Claudi Alsina) estiment que tout le travail d’Euclide est structuré pour aboutir précisément à la description polyédrique. Proclus affirme sans hésitation qu’Euclide était profondément platonicien et qu’il a proposé, comme objectif final de l’ensemble de ses Éléments, la construction des cinq polyèdres réguliers (certainement pour rendre hommage à Pythagore).

Cette vision harmonique d’un « Kosmos » structuré par les représentations géométriques des polyèdres est reprise par Archimède qui développe les 13 polyèdres semi-réguliers que Pappus étudie de nouveau.

Les polyèdres

• Il y a plus de 80.000 ans, en Afrique du sud (Blombos, ci-contre), première abstraction géométrique
• La pierre cubique des menhirs (Europe de l’ouest, Arménie)
• Pierre sphérique taillée (-4000, Ecosse)
• Grande Pyramide d’Egypte comme représentation du calcul du volume de la pyramide tronquée figurant sur le papyrus de Moscou (-1890)
• Certains auteurs décrivent que les Babyloniens, Egyptiens connaissaient le tétraèdre, l’octaèdre et le cube
• Polyèdres : figures idéales pour fabriquer des dés (Etrusque -1000, dodécaèdre)

C’est Pythagore qui développe une cosmogonie polyédrique[1], il pose les bases d’une représentation géométrique et numérique du monde.

Les proportions harmoniques sont contenues dans les nombres et les polyèdres reflètent la beauté du monde. De sa doctrine naîtra l’identification mystique des polyèdres aux quatre éléments fondamentaux de la nature :

• Le tétraèdre au Feu ;
• Le cube à la Terre ;
• L’octaèdre à l’Air ;
• L’icosaèdre à l’Eau ;
• Le dodécaèdre identifié à la sphère céleste (Nut en Egypte)

On retrouve, dans les Dialogues de Platon, des informations relatives aux polyèdres avec le Sophiste (Socrate) et le Théétète (415-369 av. J.-C.) qui était un mathématicien ayant développé en premier une théorie rigoureuse. C’est dans les Éléments d’Euclide[2] que l’on retrouve les contributions de Théétète sur les polyèdres et les nombres irrationnels. Tout comme Platon, Théétète étudia sous la direction du mathématicien Théodore de Cyrène qui essaya d’exprimer une théorie sur les quantités incommensurables. Théétète poursuivit cette étude avec les nombres irrationnels et leurs expressions sous formes de racines carrés.

Il est évident que la beauté des polyèdres ne relèvent pas de la forme géométrique en tant que telle, mais résulte des propriétés et des idées mathématiques liées à ces solides. La régularité géométrique est une « représentation géométrique » de l’ordre dans l’Univers[3].

 

[1] Évoqué par Platon dans Timée (association entre les polyèdres et le symbole mystique du Kosmos).

[2] Cf ANNEXE

[3] Ordre et reflets du règne minéral.