Il travaille sur la théorie des incertitudes (1795), sur un magnétomètre pour la mesure des actions magnétiques (1838)… Il est reconnu comme le plus grand scientifique de tout les temps. Il invente le calcul sur « les objets abstraits » comme les lois de groupes commutatifs. Gauss fait complètement abstraction des objets et de la signification de leurs relations ; « il n’a qu’à énumérer les relations et les comparer entre elles. » (Werke).

Il avait reconnu la possibilité de définir des « racines imaginaires ». Il donne l’impulsion de toute la grande théorie des nombres algébriques par son étude systématique des « entiers de Gauss » a + ib (a et b entiers rationnels). Il démontre avec rigueur ses résultats ; c’est une exigence (pour Gauss) de ne pas recourir aux « intuitions approximatives » car les notions de base deviennent plus abstraites avec lui. Il démontre le théorème fondamental de l’algèbre qu’avait cherché d’Alembert, Euler et Lagrange. Il influence par sa rigueur Cauchy et Abel. Il développe ensuite la série hypergéométrique et obtient de façon précise les conditions à imposer à a, b, g et x pour que cette série converge.

Cette nouvelle rigueur place à mille lieux les raisonnements de Bernoulli et d’Euler à propos du calcul infinitésimal qu’ils effectuaient sur des séries divergentes et ceci sans vergogne !

La notion d’espace est transformée par la profondeur des analyses de Gauss. Cherchant à démontrer le postulat d’Euclide concernant les parallèles (Euclide pensait, à juste titre, sur un plan à deux dimensions, que deux parallèles ne peuvent jamais se croiser…), il le déclare indémontrable (15 ans avant Lobatchevski) et il ouvre l’espace à une autre géométrie « non-euclidienne » où il existerait plusieurs parallèles passant par une même point. Plus tard, Hilbert viendra mettre un point d’honneur à cette théorie en associant le produit scalaire dans un espace complet, c’est la généralisation en dimension quelconque d’un espace euclidien, avec le plan complexe et le théorème des résidus (il généralise le théorème intégral de Cauchy) permettant d’obtenir une surface à partir d’un point « non défini » d’une fonction. D’où le nom de « singularité » pour donner naissance à l’univers ou décrire l’intérieur supposé d’un trou noir. Gauss ouvre la porte des espaces  mathématiques permettant de refléter avec « objectivité » la réalité. Gauss croyait que l’expérience pourrait décider du genre de « géométrie » qui correspond au monde réel mais Poincaré démontrera le contraire. Gauss se libère des aprioris émanant de Kant et qui régnaient alors sans partage (toute connaissance humaine commence par l’intuition, passe de là aux concepts et aboutit aux idées. Kant, Critique de la raison pure).

Aujourd’hui, mathématique et réalité semble totalement indépendants et c’est Gauss qui a pris l’initiative de suivre cette direction. Les objets mathématiques étaient considérés comme les « idées » (sens platonicien) des objets sensibles et pour Gauss, cette conception devenait insoutenable… Gauss ouvre les portes d’une compréhension de la complexité beaucoup plus grande de la question des liens entre les mathématiques et la réalité phénoménologique. Gauss applique donc ses théories géométriques à la géodésie et compose avec les triangles sphériques pour aboutir à la notion de courbure d’espace dépendant du ds² de la surface. Ce champ de recherche ouvre la voie à Riemann pour sa théorie générale de la géométrie différentielle dans les variétés n-dimensionnelles. L’unité des mathématiques est soignée avec Gauss, il trouve quatre démonstrations pour le théorème de l’algèbre et sept de la loi de réciprocité, s’appuyant toutes sur des principes différents. A 19 ans, Gauss représente géométriquement les imaginaires, en 1811, dans une lettre adressée à Bessel, il se montre familier avec les fonctions analytiques d’une variable complexe, il pouvait aussi tirer du calcul sur les nombres complexes des démonstrations de géométrie. C’est seulement en 1831 qu’il donne explicitement une définition des nombres complexes. Gauss reconnait le lien entre une rotation de sphère et les transformations homographiques :

Dans le domaine de la physique, Gauss est resté attaché à l’unité électromagnétique, il aborde les problèmes de physique avec sa profondeur d’analyse mathématique mais pas avec son engagement dans les faits expérimentaux.

Gauss participe à la découverte des astéroïdes (correspondant à une lacune de la loi de Titius-Bode) et plus particulièrement pour la détermination « à l’aveugle » de la position de Cérès en appliquant sa méthode des moindres carrés pour les calculs d’approximation. En 1802 Cérès retombe dans le champ des instruments comme d’autres astéroïdes par la suite. En 1830, Gauss constitue le cadre de la théorie des systèmes centrés (les conditions de Gauss en optique). Il établit aussi la considération abstraite entre point objet et point image.

En mécanique, considérant la notion des travaux virtuels (grandeurs infinitésimales du travail), la nature modifie les mouvements libres lorsqu’ils sont incompatibles avec les liaisons imposées, de manière de rendre minimale une somme de quantités proportionnelles aux carrés des écarts. C’est le principe de la moindre contrainte. Gauss souligne l’accord remarquable entre la nature et les mathématiques. Gauss formule en 1839 la théorie du potentiel. Il travaille également avec Weber (flux magnétique) sur le magnétisme (dispositifs expérimentaux permettant aux systèmes oscillants de traduire l’expression dynamique des phénomènes électromagnétiques. Le Gauss est l’unité de l’induction magnétique, ses travaux cherchent à donner une définition rationnelle de la masse.