L’énergie de liaison des atomes est la quantité d’énergie requise pour dissocier une molécule en atomes, reflétant la force des liaisons atomiques. Une énergie de liaison élevée indique une liaison forte, influençant la stabilité et la réactivité. L’énergie de liaison par nucléon (El/A) évalue la stabilité des noyaux atomiques. Les variations d’El/A avec le numéro atomique Z sont influencées par des facteurs tels que la répulsion coulombienne. Le modèle semi-empirique de la masse et des ajustements tels que k(Z) puis k(Z,N) qui cherchent à relier ces concepts, intégrant la symétrie, la surface, et l’appariement pour améliorer la précision des prévisions énergétiques.
- Exploitation de k(Z) en physique nucléaire
- Méthode de régression linéaire
- Le modèle de la goutte liquide
- Influence des neutrons et ajustement de k(Z)
- Modèle linéaire ajusté en fonction de k(Z,N)
- Comparaison des prédictions
- Intégrer les nuances de la structure nucléaire fine
Pour s’imprégner du sujet, lire ou relire : Convergences Cosmologiques et Noologiques (IV)
Exploitation de k(Z) en physique nucléaire
Existe-t-il une relation (ou un coefficient) reliant la fonction k(Z) et l’énergie de liaison par nucléon ?
La fonction k(Z) vaut :
Pour simplifier son utilisation dans les calculs, je prends :
Sachant que :
Et,
Tableau de valeurs calculées :
Remarque : les valeurs d’énergie de liaison par nucléon (El/A) sont des moyennes pour les isotopes les plus stables de chaque élément.
Analyse des données : Pour chercher un coefficient permettant de passer de k(Z) à l’énergie de liaison par nucléon, examinons le rapport entre ces deux quantités.
Le rapport Energie/k(Z) augmente avec Z, tendant vers une valeur proche de 8,8 MeV pour les éléments les plus lourds. Pour les plus petits Z, le rapport est plus faible, reflétant une énergie de liaison moindre relative à k(Z). En traçant El/A (axe des ordonnées) en fonction de k(Z) sur l’axe des abscisses, les données montrent une tendance approximativement linéaire pour les éléments lourds mais la relation n’est pas strictement linéaire sur l’ensemble des Z. Il n’existe pas un unique coefficient constant pour tous les éléments permettant de convertir k(Z) en énergie de liaison par nucléon.
La fonction k(Z) semble modéliser une propriété liée au numéro atomique, potentiellement en lien avec des corrections relativistes ou des effets quantiques dans l’atome. L’utilisation de ln(Z) révèle une croissance logarithmique inversée, typique de certaines interactions à l’échelle atomique.
- Approche cosmologique : L’énergie de liaison par nucléon atteint un maximum autour de Z=26 (fer et nickel), puis diminue pour les éléments plus lourds en raison des forces de répulsion électrostatique entre protons.
- Approche noologique : Le diagramme de l’infini vers l’unité permet de résoudre k(Z)=21/12 pour Z=24,9
L’énergie El/A dépend de plusieurs facteurs, notamment l’interaction forte, l’effet de surface, la répulsion coulombienne et les termes d’appariement.
Méthode de régression linéaire
Pour déterminer la tendance pseudo-linéaire, utilisons la méthode des moindres carrés pour effectuer une régression linéaire d’équation :
Pour calculer les paramètres de la régression, les sommes suivantes sont nécessaires :
On obtient :
Sx = 13,666 et Sy = 88,13
La formule du coefficient directeur est :
Et la formule de l’ordonnée à l’origine est :
On obtient finalement l’équation reliant k(Z) à l’énergie de liaison par nucléon :
Vérification de la tendance des données :
- Pour Z=2, E(prédit)=5,078 MeV ; E(réelle)=7,07 MeV ; Ecart=-1,99 MeV
- Pour Z=26, E(prédit)=8,049 MeV ; E(réelle)=8,79 MeV ; Ecart=-0,74 MeV
- Pour Z=92, E(prédit)=9,524 MeV ; E(réelle)=7,59 MeV ; Ecart=1,93 MeV
La relation linéaire suit une tendance où l’énergie de liaison augmente à mesure que k(Z) diminue. L’écart (<0 et sous estimation du modèle) entre les valeurs prédites et réelles est plus important pour les éléments légers (hydrogène, hélium), tend à se réduire pour les éléments moyens (Fer, nickel) et la valeur prédite dépasse l’énergie réelle pour les numéros atomiques élevés indiquant une surestimation (>0) par le modèle.
Bien que la relation linéaire ne soit pas parfaite, le coefficient directeur (-8,506) agit comme un facteur de conversion approximatif entre k(Z) et El/A sur l’intervalle étudié. Le coefficient négatif indique que, à mesure que k(Z) diminue (lorsque Z augmente), l’énergie de liaison par nucléon tend à augmenter jusqu’à un certain point avant de diminuer pour les éléments très lourds en raison des effets de répulsion électrostatique. L’ordonnée à l’origine (17,034) représente l’énergie de liaison lorsque k(Z)=0, bien que n’ayant pas de sens physique, elle permet de calibrer l’équation.
Le modèle de la goutte liquide
Ce modèle nucléaire semi-empirique décrit l’énergie de liaison totale en fonction de A (nombre de masse) et Z, prenant en compte plusieurs termes :
L’énergie de liaison dépend de multiples interactions, rendant difficile l’établissement d’une relation simple avec k(Z). On a :
Ce modèle prend en compte les effets de volume, de surface, de répulsion coulombienne et de symétrie.
- Le premier terme de Volume représente l’énergie de liaison proportionnelle au nombre total de nucléon, dû à l’interaction forte attractive entre voisins immédiats.
- Le deuxième terme de Surface compte pour le fait que les nucléons en surface ont moins de voisins et donc une énergie de liaison réduite.
- Le troisième terme Coulombien reflète la répulsion électrostatique entre les protons du noyau.
- Le quatrième terme de Symétrie prend en compte l’énergie associée au déséquilibre entre protons et neutrons.
- Le cinquième terme d’Appariement introduit des corrections selon que le nombre de protons et de neutrons est pair ou impair.
Lien entre k(Z) et le terme Coulombien du Modèle
Le terme Coulombien est :
Le coefficient aC est lié à la constante de structure fine car il dépend de la force de répulsion électrostatique entre les protons.
Théoriquement, aC peut être exprimé en fonction des constantes fondamentales :
Avec :
Ceci suggère que k(Z) est associé à l’effet de la répulsion coulombienne dans le noyau.
Cette fonction suggère aussi une dépendance logarithmique de k(Z) en fonction de Z, influencée par la constante de structure fine.
Le terme coulombien du modèle semi-empirique dépend de Z(Z-1) et de A1/3. Pour simplifier, considérons que pour les noyaux stables (A est environ égal à 2Z) correspondant aux éléments légers et moyens :
Cette dépendance en Z5/3 diffère de la dépendance logarithmique de k(Z). Pour établir un lien, on peut envisager que k(Z) modélise une correction logarithmique aux effets coulombiens, peut être en lien avec la distribution des charges ou des effets quantiques avec Z élevé.
Considérations des effets relativistes et des corrections de masse
Dans les atomes lourds, les électrons internes atteignent des vitesses relativistes, influençant leurs énergies et, par extension, les propriétés de l’atome. Mais ces effets concernent davantage la chimie que la physique nucléaire.
La masse est affectée par les énergies de liaison, y compris les corrections liées à l’interaction électromagnétique.
- Défaut de masse : la masse du noyau est inférieure à la somme des masses nucléons individuels en raison de l’énergie de liaison.
- Contributions électromagnétiques : Bien que minoritaires, elles influencent le calcul précis des masses nucléaires.
Il est possible que la fonction k(Z) intègre des corrections logarithmiques associées aux effets quantiques ou statistiques dans le noyau, comme les corrections de charge de spin ou de polarisation des orbitales nucléaires.
En considérant k(Z) comme dépendant de alpha et du logarithme de Z, on peut proposer que k(Z) représente un facteur de correction à appliquer au terme coulombien du modèle semi-empirique.
Nouvelle formulation du terme coulombien :
Cette expression suppose que k(Z) modifie l’intensité de la répulsion coulombienne en fonction de Z. L’expression de l’énergie de liaison totale devient :
Cela permet de modéliser les variations fines de l’énergie de liaison en fonction de Z, en tenant compte des corrections introduites par k(Z).
Applications numériques et comparaison
Utilisons les valeurs typiques pour les constantes du modèle semi-empirique :
Pour le fer (Z=26, A=56), en utilisant la formule ajustée :
Les légères différences dans les décimales proviennent des arrondis à chaque étape. Le résultat est cohérent avec le calcul initial. L’énergie coulombienne joue un rôle crucial (1/3) dans la stabilité des noyaux, surtout pour les éléments lourds où la répulsion entre protons est plus intense. Dans le noyau, l’interaction forte maintient les nucléons ensemble, tandis que l’énergie coulombienne agit en sens contraire. Le calcul précis des contributions est essentiel pour comprendre l’énergie de liaison totale.
Pour le fer (A=56) l’énergie totale est d’environ 492 MeV, ce qui correspond à une énergie par nucléon d’environ 8,79 MeV. L’énergie coulombienne représente donc une fraction significative, mais elle est compensée par l’énergie d’attraction de l’interaction forte. Pour les éléments lourds, le terme coulombien augmente, ce qui affecte la stabilité et explique pourquoi les noyaux lourds sont souvent instables et sujet à la désintégration radioactive.
Le calcul des autres termes donne :
et
la valeur expérimentale de l’énergie de liaison par nucléon pour le fer est d’environ 8,79 MeV. Notre calcul sous estime cette valeur, indiquant que notre ajustement via k(Z) ne reproduit pas fidèlement les données expérimentales.
La courbe d’Aston
Francis William Aston est un pionnier de la spectrométrie de masse au début du XXe siècle. Il a découvert que les masses atomiques réelles diffèrent légèrement de la somme des masses des protons et des neutrons qui composent le noyau. Cette différence, appelée défaut de masse est directement liée à l’énergie de liaison d’après la relation d’Einstein E=mc².
La courbe d’Aston représente l’énergie de liaison par nucléon (El/A) en fonction du nombre de masse A. Elle révèle que l’énergie de liaison par nucléon augmente rapidement pour les petits A, atteint un maximum autour de A=56 (fer) et diminue lentement pour les atomes lourds.
Nous allons calculer k(Z) pour chaque Z compris entre 1 et 92. Pour chaque élément, nous obtiendrons le nombre de masse A de l’isotope le plus stable ou le plus abondant et l’énergie totale de liaison Eliaison correspondante. Ensuite on calcule -El/A.
Jusqu’à Z autour de 50, la diminution de k(Z) peut refléter une réduction des effets répulsifs, permettant une énergie de liaison par nucléon plus élevée. Au delà de Z=50, malgré la diminution continue de k(Z), d’autres facteurs comme l’augmentation de la répulsion coulombienne et l’effet de saturation de la force nucléaire forte, conduisent à une diminution de l’énergie de liaison par nucléon.
Modélisation mathématique
La fonction k(Z) incorporant le logarithme naturel de Z est un coefficient proche de la constante de structure fine alpha suggère que k(Z) est lié aux effets électromagnétiques dans le noyau. La répulsion coulombienne tend à diminuer l’énergie de liaison totale du noyau. Pour les éléments lourds, ces effets deviennent significatifs. Nous pouvons essayer de trouver une fonction reliant k(Z) et -El/A. Cependant, étant donné la complexité des interactions nucléaires, il est peu probable qu’une relation simple existe. Un modèle exponentiel ou logarithmique (non linéaire) peu être envisagé :
En utilisant les données disponibles, on peut ajuster les paramètres a, b et c pour minimiser les écarts entre les valeurs expérimentales et le modèle :
Ainsi le modèle devient :
On peut tester le modèle avec Z=26 et constater qu’il ne correspond pas aux données expérimentales, indiquant qu’un modèle exponentiel simple n’est pas adapté.
L’influence des neutrons et ajustement de k(Z)
Le rôle des neutrons est crucial pour expliquer les variations de l’énergie de liaison par nucléon et les écarts observés lorsqu’on tente de relier k(Z) à El/A.
Les neutrons contribuent à la cohésion du noyau en apportant une force nucléaire attractive sans ajouter de charge électrique. Ils permettent de diminuer la répulsion électrostatique entre les protons. Le bon équilibre en le nombre de protons Z et de neutrons N est essentiel pour la stabilité du noyau.
Pour les éléments légers, le nombre de neutrons est approximativement égal au nombre de protons. A mesure que Z augmente, le rapport N/Z augmente pour compenser l’augmentation de la répulsion coulombienne entre protons.
Le terme de symétrie dans le modèle semi-empirique de la masse reflète l’influence du déséquilibre entre neutrons et protons :
La constante de symétrie asym est d’environ 23 MeV. Plus le noyau est déséquilibré (valeur absolue de N-Z élevé), plus l’énergie de liaison diminue. Pour les noyaux lourds, un excès de neutrons est nécessaire pour maintenir la stabilité. Il existe des limites au nombres de neutrons qu’un noyau peut contenir avant de devenir instable (chemin du retour).
La fonction k(Z) ne tient pas compte de N et pour cela nous devons inclure une fonction f(N,Z) dans l’expression de k(Z) :
Avec f(N,Z) qui est une fonction exprimant l’influence de N (nombre de neutrons) sur k(Z).
Pour élaborer une nouvelle fonction intégrant N, on peut proposer que f(N,Z) dépende du rapport (N-Z)/A reflétant le terme de symétrie :
Le coefficient beta est à déterminer expérimentalement et le terme supplémentaire au carré pénalise les noyaux avec un déséquilibre entre protons et neutrons, en accord avec le terme de symétrie.
Les noyaux sont plus stable lorsque N est à peu près égal à Z, ce qui maximalise l’énergie de liaison. Et en incluant (N-Z)², la fonction k(Z) reflète la diminution de l’énergie due au déséquilibre.
Exemples concrets
Prenons des isotopes pour lesquels N est connu :
L’énergie de liaison par nucléon diminue pour le carbone 14 par rapport au carbone 12, reflétant l’effet du déséquilibre neutron-proton. Et la fonction k(Z,N) modélise cette diminution.
Dans le cas des noyaux lourds, prenons l’Uranium-238 (Z=92, N=146 et A=238) :
Le k(Z,N) négatif indique une forte diminution liée à l’excès de neutrons, en accord avec la diminution de l’énergie de liaison par nucléon pour les noyaux lourds.
Impact sur la relation entre k(Z,N) et El/A
En intégrant N dans k(Z,N), on trouve une meilleure corrélation avec El/A.
En utilisant les valeurs de k(Z,N) recalculées, on peut refaire une régression linéaire :
Avec cette nouvelle fonction, les écarts entre les valeurs prédites et expérimentales de l’énergie de liaison par nucléon devraient diminuer, reflétant une meilleure prise en compte de l’influence des neutrons.
La détermination précise du coefficient beta nécessite un ajustement fin avec des données expérimentales étendues.
Interprétation physique de la comparaison
Les constantes d’intensité beta dans k(Z,N) et asym dans Esym jouent des rôles similaires en quantifiant l’impact du déséquilibre sur la stabilité nucléaire. Les deux valeurs sont déterminées empiriquement pour correspondre aux données expérimentales.
Le modèle semi-empirique de la masse (SEMF) est un modèle global pour l’énergie de liaison nucléaire, tandis que k(Z,N) est une fonction que j’ai développée pour établir des liens avec cette énergie. En incluant le terme de symétrie dans k(Z,N), j’étoffe sa consistance avec des considérations fondamentales de la physique nucléaire.
Application numérique
Le terme de symétrie réduit légèrement k(Z,N) reflétant la légère réduction de l’énergie de liaison due au déséquilibre neutron-proton. La diminution de k(Z,N) est cohérente avec la valeur calculée de Esym montrant que les deux approches capturent le même phénomène physique.
Cette cohérence suggère que k(Z,N) pourrait être utilisé comme indicateur simplifié de la stabilité nucléaire, tout en restant fidèle aux modèles complets.
Incorporation des corrections de surface et d’appariement dans k(Z,N)
Le modèle semi-empirique de la masse (SEMF) exprime l’énergie de liaison d’un noyau atomique EB en tenant compte de plusieurs termes :
Pour étendre la fonction k(Z,N) :
On ajoute des termes analogue au terme de surface et au terme d’appariement du SEMF.
Le terme de surface reflète le fait que les nucléons à la surface du noyau ont moins de voisins pour interagir, réduisant ainsi lur contribution à l’énergie de liaison. Dans le SEMF, ce terme est proportionnel à A2/3. Pour l’intégrer dans k(Z,N), on peut choisir :
Avec gamma le coefficient de surfance à déterminer. L’inverse de A1/3 capture l’effet de surface, augmentant pour les petits noyaux.
Le terme d’appariement tient compte du fait que les nucléons préfèrent s’apparier en paires de spin opposé, ce qui stabilise le noyau.
Pour intégrer le terme du SEMF dans k(Z,N) :
Avec delta’ le coefficient d’appariement à déterminer. Le signe est positif pour les noyaux pair-pair, négatif pour les noyaux impair-impair et nul pour les noyaux avec A impair.
La nouvelle forme de la fonction k(Z,N) est :
Le terme de surface diminue k(Z,N) pour les petits noyaux (petit A) où l’effet de surface est significatif. Le coefficient gamma peut être peut-être ajusté en fonction des données expérimentales. Une valeur typique peut-être estimée (par analogie) avec aS dans le SEMF.
Le terme d’appariement ajoute ou soustrait une quantité à k(Z,N) en fonction de la parité de Z et N, reflétant la stabilité supplémentaire des noyaux pair-pair. Le coefficient delta’ est généralement positif et de petite valeur.
Application numérique
Pour le nickel-62 (Z=28, N=34 et 1=62), on obtient :
Puisque Z et N sont pairs (noyau pair-pair), le signe est positif dans le terme d’appariement.
Les termes de symétrie et de surface diminuent k(Z,N), tandis que le terme d’appariement l’augmente légèrement en raison du noyau pair-pair. Un k(Z,N) plus faible pour un noyau très stable reflète l’équilibre entre les forces attractives et répulsives. Ces ajouts rendent k(Z,N) plus sensible aux variations spécifiques du noyau, alignant mieux le modèle avec la réalité physique. Les coefficients beta, gamma et delta’ doivent être optimisés en utilisant un large ensemble de données nucléaires pour garantir leur pertinence. Il est possible que les valeurs optimales des coefficients varient légèrement selon les régions du tableau périodique.
Modèle linéaire ajusté
L’objectif est de trouver une relation linéaire de la forme :
Paramètres à calculer pour chaque noyau :
- Calculer k(Z,N)
- Obtenir El/A à partir des données expérimentales
- Recueillir les valeurs nécessaires pour la régression linéaire.
Les coefficients sont ajustés pour une meilleure correspondance avec beta=25, gamma=0,5 et delta’=1,0.
Calcul de k(Z,N) en utilisant la formule améliorée :
Application numérique pour l’hélium-4 :
En répétant ce calcul pour chaque noyau :
Et utilisant la méthode des moindres carrés pour chercher une relation linéaire :
Et en calculant les sommes puis les coefficient a et b :
Donc la relation linéaire obtenue entre k(Z,N) et El/A est :
Pour vérifier, en calculant les valeurs prédites par le modèle pour les comparer aux valeurs expérimentales :
Les résidus sont relativement faibles, généralement inférieure à 1 MeV. Le modèle linéaire ajusté est donc une approximation raisonnable de la relation entre k(Z,N) et El/A.
Le coefficient a=-0,188 indique une légère pente négative, montrant que lorsque k(Z,N) augmente, l’énergie de liaison par nucléon diminue légèrement selon le modèle. Le coefficient b=8,089 MeV représente l’ordonnée à l’origine, approximativement la valeur moyenne de l’énergie de liaison par nucléon pour les noyaux étudiés. Le modèle capture la tendance générale de l’énergie de liaison par nucléon en fonction de k(Z,N). Les écarts observés précise que le modèle, bien qu’utile, simplifie la réalité complexe des interactions nucléaires.
Cette relation, malgré sa simplicité, réussit à modéliser avec une précision raisonnable les variations de El/A à travers différents noyaux, en intégrant des termes clés des corrections de surface et d’appariement.
Les modèles quadratiques et exponentiels ne sont pas adaptés. Une segmentation des données semble nécessaire pour A<20, 20<A<100 et A>100.
Calcul optimal du coefficient beta
L’objectif est de trouver la valeur optimale du coefficient beta dans la fonction k(Z,N) :
Pour simplifier, la parité « pair » signifie que Z et N sont pairs.
Pour cet ajustement, les valeurs de gamma=0,5 et delta’=1,0 sont fixées.
En faisant varier beta dans un plage de valeur (entre 15 et 35) avec un pas de 1 et pour chaque valeur de beta, faut calculer k(Z,N) pour tous les noyaux du jeu de données.
Exemple avec l’hélium-4 et beta=25 :
Pour chaque valeur, faut ajuster la relation linéaire en utilisant la méthode des moindres carrés pour déterminer a(beta) et b(beta).
Pour évaluer la qualité de l’ajustement pour chaque beta, faut calculer l’erreur quadratique moyenne (EQM) :
Avec N le nombre total de noyaux dans le jeu de données. En faisant varier beta et en calculant l’EQM pour chaque valeur, on cherche celle qui minimise l’EQM (avec beta=25 dans le tableau suivant).
Un ajustement fin (réduire le pas autour de la valeur optimale) :
Pour beta=24,75 la relation finale (équation Noos-IV) est :
Validé du modèle
Les calculs pour plusieurs noyaux représentatifs :
Le résidu est défini comme la différence entre la valeur expérimentale et la valeur prédite. Pour les résidus positifs, le modèle sous-estime El/A et pour les résidus négatifs, il surestime El/A.
- Pour les noyaux légers (A<20) : Les résidus sont généralement faibles et souvent inférieurs à +/-0,2 MeV. Excepté pour le lithium car le modèle sous-estime El/A de 1,71 MeV (noyau léger, effets de structure fine…).
- Pour les noyaux moyens (20<A<100) les résidus sont modérés (entre +0,4 et +0,9 MeV), le modèle tend à sous-estimer légèrement El/A.
- Pour les noyaux lourds (A>100), les résidus sont faibles souvent inférieurs = +/-0,5 MeV. Le modèle donne une bonne correspondance avec les données expérimentales.
L’erreur moyenne absolue (EMA) est égale à 0,438 Mev avec N=12 :
L’EMA est raisonnable compte tenu de la complexité des interactions nucléaires. Le modèle fournit une estimation acceptable de l’énergie de liaison par nucléon sur l’ensemble des noyaux étudiés.
Comparaison des prédictions
Le modèle linéaire que j’ai trouvé permet d’approximer simplement l’El/A sur une large plage de noyau.
Avec k(Z,N) une fonction intégrant le coefficient noologique k(i), le logarithme de Z et des termes liés à l’interaction nucléaire, à la symétrie neutron-proton, à la surface et à l’appariement. Et beta est un coefficient ajusté pour optimiser la corrélation avec les données expérimentales. Sa valeur est très proche de la solution (Z=24,9) de l’équation k(Z)=21/12. Ce modèle représente une estimation (approche simple) de El/A.
Le modèle en couches (Shell Model) considère le noyau atomique comme une structure organisée en couches énergétiques. Les nucléons occupent des niveaux d’énergie quantifiés. Les interactions entre nucléons (spin-orbite) sont prises en compte. Ce modèle en couche permet de prédire les états excités des noyaux, les moments magnétiques, les spins nucléaires et l’énergie de liaison avec une bonne précision pour les noyaux proches des nombres magiques (2, 8, 20, 28, 50, 82, 126). Ce modèle est complexe (calculs) avec l’augmentation du nombre de nucléons. Il est moins précis pour les noyaux libres ou déformés.
Le modèle ab initio cherchent à calculer les propriétés nucléaires à partir des interactions nucléon-nucléon fondamentales, sans ajustements aux données expérimentales. Ses capacités de prédiction sont très précises pour les noyaux légers (A<16) pour calculer l’énergie de liaison, les rayons chargés, les spectres énergétiques…
Noyau de l’Hélium-4
Les valeurs expérimentales sont :
Les méthodes ab initio prédisent une énergie de liaison très proche de la valeur expérimentale (précision de quelques keV).
Pour ce noyau très léger, les calculs du modèle en couches concordent généralement bien avec les valeurs expérimentales.
Pour le modèle linéaire, k(2,2) est d’environ 1,058, on a :
La valeur prédite par le modèle linéaire diffère de seulement 0,03 MeV de la valeur expérimentale, ce qui est très précis.
Noyau de Carbone-12
Les valeurs expérimentales sont :
Les méthodes ab initio prédisent une énergie de liaison légèrement inférieure (de 1 MeV), généralement autour de 91 MeV.
Le modèle en couches prédit une énergie de liaison compatible avec les valeurs expérimentales mais nécessite l’utilisation de forces effectives ajustées.
Le modèle linéaire avec k(6,6)=1,197 on a :
La prédiction du modèle linéaire est supérieure de 0,19 MeV.
Noyau de l’oxygène-16
Les valeurs expérimentales sont :
Les prévisions (calculs ab initio) sont généralement inférieures d’environ 1 MeV par nucléon. Le modèle en couches offre une bonne correspondance lorsque des forces ajustées sont utilisées.
Le modèle linéaire avec k(8,8)=1,127 donne :
La prédiction (inférieure à 0,1 MeV à la valeur expérimentale) du modèle linéaire est aussi précise que les calculs ab initio pour ce noyau.
Noyau de Fer-56
Les valeurs expérimentales pour l’énergie de liaison sont de 492,26 MeV et de 8,79 MeV par nucléon. La prédiction du modèle linéaire est inférieure à la valeur expérimentale de 0,872 MeV. Les calculs ab initio sont limités pour des atomes aussi lourds et le modèle en couches offre une meilleure correspondance mais au prix d’une complexité et d’ajustements empiriques.
Noyau de Plomb-208
L’énergie de liaison expérimentale est de 1636,43 MeV et de 7,87 MeV par nucléon.
Le modèle en couches est très complexe (inadapté) pour de tels noyaux lourds. Et les calculs ab initio sont inapplicables directement en raison des limitations computationnelles.
Le modèle linéaire prédit une El/A=7,992 MeV légèrement supérieure à la valeur expérimentale de 0,12 MeV.
La qualité de prédiction du modèle linéaire est nettement prouvé en s’adaptant simplement à une grande plage de noyaux légers, moyens et lourds.
Intégrer les nuances de la structure nucléaire fine
Le modèle linéaire peut être amélioré en y incorporant des termes supplémentaires ou en ajustant les coefficients pour mieux capturer les subtilités de la physique nucléaire.
Inclusion des corrections de structure en couches (Shell Effects)
Les nucléons remplissent des niveaux d’énergie quantifiés dans le noyau, similaires aux couches électroniques dans l’atome. Les noyaux avec des nombres de protons ou de neutrons égaux aux nombres magiques (2, 8, 20, 28, 50, 82 et 126) sont particulièrement stables. On peut ajouter un terme au modèle linéaire pour tenir compte de l’énergie supplémentaire de liaison due aux couches fermées.
On peut modéliser cette correction en utilisant des fonctions qui augmentent l’énergie deliaison lorsque Z ou N sont proches des nombres magiques. Par exemple :
Avec lambda un coefficient ajustable, Zm et Nm sont les nombres magiques et sigma contrôle la largeur de la correction autour des nombres magiques.
Intégration des effets de déformation nucléaire
Pour les noyaux moyens à lourds, le noyau n’est pas sphérique mais possède une forme déformés en ellipse qui affecte l’énergie de liaison. Il faut inclure un terme qui prend en compte le degré de déformation du noyau :
Avec beta2 le paramètre de déformation quadripolaire du noyau et mu est un coefficient à déterminer. Les valeurs de beta2 peuvent être obtenues à partir de données expérimentales ou de calculs théoriques (mesures des moments quadripolaires électriques).
Amélioration du terme d’appariement
Les nucléons ont tendance à s’apparier en paires avec des spins opposés, ce qui augmente la stabilité du noyau. On peut réviser le terme d’appariement pour qu’il dépende de la parité de Z et N mais aussi de la structure en couches et des niveaux d’énergie occupés.
Par exemple :
Avec teta(Z,N) une fonction qui modélise l’effet de l’appariement (configuration spécifique des nucléons).
Autres corrections possibles
- Interactions nucléon-nucléon résiduelles
- Terme d’interaction résiduelle
- Incorporation des effets de la physique nucléaire exotique (noyau loin de la vallée de stabilité et lorsque N/Z s’éloigne de 1)
- Ajustement des coefficients en fonction de Z et N
- Utilisation de fonction non-linéaire
- Incorporation de données expérimentales spécifiques
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