Pythagore avait fondé une école de sciences, d’art musical et de philosophie symbolique mais également mystique. Pour intégrer cette école, la sélection était très difficile ; selon certains auteurs, il ne fallait pas parler pendant deux ans… c’est-à-dire que le postulant devait, avant toute chose, apprendre à se taire et surtout limiter le discours interne du mental. L’école pythagoricienne formait des disciples à la philosophie et aux sciences.

SE TAIRE : Cette contrainte bien connue également à l’époque de « l’esprit monacal » provient du symbole de l’aigle contenu dans le sphinx égyptien. Il s’agit d’apprendre à Se Taire pour mettre en veilleuse le mental et laisser ainsi la place disponible pour l’apprentissage, l’expérimentation et la créativité.

Pythagore commence par exposer ses théories (philosophie, astronomie, mathématiques, musique…) à l’âge de 40 ans, de retour sur l’île de Samos où il était né. Après un long voyage en Égypte, à Babylone, il s’était imprégné des connaissances orientales pour les combiner avec les apports de sa propre culture. En fait, son père (Mnésarque) conduit le jeune Pythagore à Tyr pour y étudier les théories des phéniciens. Ensuite, il visita l’Égypte (Memphis), l’Arabie, puis il s’installa pendant douze ans à Babylone. C’est donc à Babylone qu’il trouva le savoir nécessaire pour « percevoir l’ensemble des choses ». Bien sûr, nous l’avons vu dans le chapitre consacré aux Sumériens, Pythagore ramène en occident son fameux théorème appliqué au triangle rectangle permettant également de résoudre l’équation a²+b²=c² dont les solutions (a,b,c) forment un triplet pythagoriciens. Mais ce n’est pas tout…

Une fois de plus, on constate que la savoir oriental, d’une richesse exceptionnelle dans tous les domaines de la connaissance, est exemplaire pour une représentation cohérente du monde. Pythagore cultive également en orient, les qualités nécessaires pour réaliser des observations rigoureuses dans le cadre d’une expérimentation. Il acquière aussi des méthodes numériques utiles pour les calculs en mathématiques (proportions harmoniques des nombres) et une réflexion abstraite en philosophie pour l’acquisition de la logique et des règles du « contrôle de soi et du mental » qui permettent d’aborder l’analyse critique des processus cognitifs.

Pythagore fut un contemporain de Confucius, Lao-Tseu et Bouddha fondateurs des grandes philosophies orientales où la religion et la philosophie sont très proches. Et c’est normal, les mythes sont à la base de l’explication du monde, mais le dénouement est complexe pour en extraire la substance, voire l’essence, et surtout pour en décrire la chronologie. Mircéa Eliade est une référence dans ce domaine qui consiste à retracer la perception d’un symbole (soleil, lune, feu…) dans un contexte culturel relatif aux différentes civilisations qu’elles soient orientales ou occidentales.

Méthodologie scientifique

Les mathématiques structurent la connaissance des nombres :

• Repérage temporel: compter les animaux, les jours les mois, l’année… Repérer les rythmes cosmologiques ;
• Repérage spatial: organisation du territoire, de la cité, de la Terre… Se représenter l’Univers.

L’espace et le temps sont couplés dans l’Univers et relatif à notre monde.

Les sciences structurent la connaissance de la matière :

• Les atomes : corpuscules élémentaires qui structurent le réseau cristallin de la matière, on peut lui associer une longueur d’onde ;
• Le rayonnement : visible et invisible, ondes ou corpuscules (vagues ou gouttes) cela dépend de « l’humeur de la lumière »

Les interactions atome-rayonnement et les modélisations de la technologie actuelle.

La démarche scientifique est inventée par Pythagore vers -500 avant notre ère.

Il s’agit d’expériences, c’est à dire de connaissances empiriques. Les expériences sont reproduites pour être modélisées par des relations mathématiques. Le modèle théorique est validé lorsqu’il permet de prévoir le comportement du système étudié.

La théorie acoustique de Pythagore : une corde tendue, cloutée sur une planche, qu’on écarte de sa position d’équilibre au milieu de sa longueur. La vibration est harmonique, il existe donc une relation (rapport ½) entre la longueur d’une corde et la note sonore émise.

La théorie acoustique de la musique

Loi des cordes vibrantes et des intervalles musicaux[1]

Archélaos de Milet, philosophe et mathématicien, disciple de Pythagore aurait, le premier, démontré la nature vibratoire du son (selon Diogène Laërce).

Pour les instruments à cordes, il existe deux méthodes pour générer un son :

• La corde frappée (piano)
• La corde pincée et écartée de sa position d’équilibre (guitare)

Les pythagoriciens procédaient comme des expérimentateurs par tâtonnements pour valider une impression fortement ancrée en eux : les liens harmoniques entre la phénoménologie du monde et les nombres. Les nombres, à cette époque, possédaient une forte valeur symbolique. La tetraktis des pythagoriciens exprimait, en synthèse, l’harmonie reflétée par les nombres.

L’étude de la musique s’effectuait avec un instrument élémentaire à une seule corde dont on pouvait modifier la longueur. Une note, douce et agréable pour l’oreille, n’existe que pour certaines positions lorsqu’on pince la corde. Plus la corde est courte, plus la note est aigüe et inversement pour les sons grave. Ainsi les pythagoriciens comparèrent méthodiquement les sons produits par différentes longueurs de corde en la divisant au milieu, au tiers, au deux tiers de la longueur d’origine… Si l’on presse la corde au milieu de sa longueur, le rapport numérique est 2 :1 et musicalement, cet intervalle correspond à l’octave (do-do). Et ainsi de suite pour obtenir les rapports harmoniques les plus simples dans le tableau suivant :

Corde pressée	Rapport numérique	Intervalle musical	Correspondance musicale
Au milieu de sa longueur	2 :1	Octave	Do-do
Au tiers de sa longueur	3 :2	Quinte	Do-sol
Au quart de sa longueur	4 :3	Quarte	Do-fa

Un modèle peut donc émerger de ces rapports particuliers qui permettent d’obtenir, avec une corde pincée, des notes harmonieuses et agréables pour l’oreille humaine : c’est le rapport   . Cette fraction confirmait, aux pythagoriciens, le lien entre le nombre et le Beau. Les pythagoriciens observèrent également que le rapport entre les longueurs de deux cordes est l’inverse du rapport des fréquences de ces cordes. Par exemple, deux cordes donnent une note à la quinte (3/2) si leurs longueurs sont en rapport 2/3.

Dans une conception élémentaire de la philosophie, il existe trois concepts principaux qui structurent la perception du monde :

• Le Beau qui a trait au monde phénoménologique et physique ;
• Le Bien qui reflète la pureté de l’âme et des émotions ;
• Le Vrai qui scelle l’unicité de la monade et ses rapports à la métaphysique.

Les grecs étaient fortement attachés à cette représentation « quaternaire » puisque le « quatrième élément » englobe les trois concepts. Pour les grecs le « quatre » est équivalent à l’unité (tetraktis).

Mais revenons à la musique des sphères… Car pour les pythagoriciens et plus tard pour Kircher, Kepler et pour d’autres, le monde reflète une harmonie et l’équilibre est un état de fait dans le mouvement des corps célestes qui s’inscrit dans une organisation et une connaissance approfondie des nombres et de leurs propriétés.

Pour ces gens là, le monde n’est pas créé par la contingence de « faits hasardeux »…

Les pythagoriciens se basaient sur des rapports numériques simples (2/1 pour l’octave et 3/2 pour la quinte) pour organiser leur gamme. Ils obtenaient divers sons en enchaînant des quintes et ils utilisaient la réduction d’octave[2] pour situer ces notes au rang souhaité. La réduction d’octave permet d’accorder un piano par exemple. Une fois déterminer la fréquence d’un ré, elle est transposée aux autres ré du piano en multipliant ou en divisant par 2 pour changer d’octave. On utilise donc un coefficient linéaire (proportionnel) pour passer d’une octave à l’autre. Mais dans une octave, la progression des différentes notes n’est pas linéaire…

Par exemple, sachant que l’accord de chaque note est compris entre 1 (premier do) et 2 (le do de la gamme suivante), on détermine le sol qui est à une quinte du do :

sol = 3/2 ;

Puis le ré à une quinte du sol (en multipliant encore par 3/2) en le réduisant d’une octave (en multipliant par 1/2) :

re = sol.3/2.1/2 donc ré = 9/8 puisque sol = 3/2

Ainsi de suite pour compléter la gamme… Nous obtenons les valeurs suivantes :

Note	Do	Re	Mi	Fa	Sol	La	Si	Do
Rapport de fréquence	1	9/8	81/64	4/3	3/2	27/16	243/128	2

On détermine également les accords des touches noires du piano en descendant par quintes depuis le fa

Note	Reb	Mib	Solb	Lab	Sib
Rapport de fréquence	256/243	32/27	1024/729	128/81	16/9

En montant d’une quinte, à partir de la note si, on arrive au fa# qui devrait être le même son que le sol_b en atteignant l’autre extrême (après avoir fait les réductions d’octave). Mais ces deux sons ne sont pas identiques :

Le comma pythagoricien est la différence entre le fa# et le sol_b ; Le comma pythagoricien est ce « presque » qui fait la différence en révélant la non linéarité de la progression des fréquences musicales.

De même, le fa# et le ré_b ne se trouve pas à la distance d’une quinte, mais l’intervalle est plus petit, c’est la « quinte du loup ».

Si on effectue le rapport entre l’enchaînement de 12 quintes pour arriver à une note qui devrait être la même, mais à 7 octaves de distance.

Par le calcul, le comma pythagoricien (CP) est :

La différence est alors d’un peu plus de 1% d’une octave soit presque un quart de demi-ton. La différence est faible, mais réelle, il n’y a donc pas d’échelle chromatique sans comma pythagoricien.

Il existe donc une incompatibilité des intervalles d’octave et de quinte qui débouche sur la « quinte de loup ». Et il existe une autre incompatibilité entre les quintes et les tierces majeures. La gamme pythagoricienne préfère avoir de bonnes quintes et donc des tierces imparfaites.

Cette présentation de la construction de la gamme de Pythagore, issue du livre L’harmonie est numérique de Javier Arbonés et Pablo Milrud (ed. RBA) contient un anachronisme qui entache le raisonnement. En effet, les pythagoriciens n’avaient aucune notion/représentation de la fréquence et à fortiori du rapport de fréquence. La fréquence n’apparait qu’à partir du XVIe s. en Europe dans la théorie acoustique. Une fréquence est un « nombre de cycle par seconde ». Cycle ou phénomène périodique, c’est la même chose.

Si l’on poursuit cette anachronisme (bien utile pour comparer les résultats avec les autres gammes) et rappelant que la gamme de Pythagore est construite à partir d’une note de base qu’on multiplie ou qu’on divise par 3/2 pour obtenir les quintes successives, l’enchaînement des quintes étant fa, do, sol, re, la, mi, si, on obtient :

Note	Fa1	Do2	Sol2	Re3	La3	Mi4	Si4
F en (Hz)	86,94	130,4	195, 6	293,3	440	660,0	990,0

Les fréquences des notes successives de la gamme sont obtenues en ramenant la note dans l’octave : en principe le la₄ (440(3/2)¹²/2⁶ = 892,01 Hz) devrait correspondre à l’harmonique 2 du la3 (880 Hz), soit la différence non négligeable de ce petit « presque » qui montre que la progression des notes dans la gamme n’est pas linéaire. On retrouve donc le comma de Pythagore :

CP = 1000.log₁₀ (892,01/880) = 5,887 savarts.

{échelle diatonique et naturelle}

{tempérament égal et le père de Galilée}

Finalement, Pythagore est le premier qui, avant Euclide, applique la logique à la justesse des propositions comme méthodologie indispensable à l’élaboration des mathématiques.

[1] Il y en avait cinq à l’origine pour certaines civilisations, maintenant il y a sept notes de musique avec des intervalles irréguliers (progression non proportionnelle).

[2] Pas tout à fait puisque les pythagoriciens ignorait l’octave… Pythagore avait renfermé les bornes du mode dans la quarte (tetracorde). La quarte est le renversement de la quinte. Le pape Grégoire y substitua par l’heptacorde sans appuyer son échelle musicale sur des principes solides. De cette modification résulte les chants grégoriens. Ce pape s’évertuait à détruire tous les livres venant des grecs qu’il considérait comme inspiré par les démons !