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Brahmagupta (598-669)

Dans l’histoire des mathématiques, l’Inde (et le Pakistan) sont oubliés comme le fût jadis (en Occident) les arabes. Nous devons à l’Inde (et pas aux Arabes) notre système décimal de position, le zéro et les bases du calcul écrit que nous pratiquons de nos jours. Le système décimal compose nos 10 caractères graphiques/numériques (chiffres de 0 à 9) qui permettent d’écrire tous les nombres. Et le zéro bien sûr pour distinguer les nombres positifs et les nombres négatifs pour étudier les limites en l’infini lorsqu’une valeur est divisée par zéro ou simplement pour qualifier le rien, le néant…

Des Indiens aux Arabes

Plus que des mathématiques, il s’agit d’astronomie et de poésie. En 476 c’est la naissance d’Aryabhata à Kusumapura (aujourd’hui Patna, capitale de l’état de Bihar en Inde).

Aryabhata est l’auteur de l’Aryabhatiya et du siddhanta conservé intégralement comme étant le plus ancien. Un chapitre concerne les mathématiques comme une bonne approximation du nombre pi, le calcul de certains sinus (demi-cordes), la résolution d’équations algébriques par la méthode de l’inversion, la méthode du kuttaka (pulvérisateur) pour résoudre des équations diophantiennes du premier ordre.

L’empire Gupta en Inde devint un important centre culturel comme le fût Bagdad plus tard sous l’impulsion d’Al-mansûr (premier calife Abasside) {voir Le Monde Arabe}.

Ibn Khaldun (1332-1406) explique que les Arabes ont reçu la science des Indiens en même temps que leurs chiffres et leurs méthodes de calcul lorsque des savants venus de l’Inde se sont présentés au calife Al-Mansûr vers 773 (année 156 de l’Hégire).

Brahmagupta

Brahmagupta (né en 598, certainement dans la région Gupta) connaissait les travaux de mathématiciens grecs comme Héron d’Alexandrie, Ptolémée et Diophante et bien sûr les œuvres des savants indiens Aryabhata (476-550) et Vaharamihira (505-587) qui l’avaient précédé.

Brahmagupta écrivit à l’âge de 30 ans le Brahmasphutasiddhanta et le Khandakhdyaka à l’âge de 67 ans.

Dans le Brahmasphutasiddhanta (premier traité mathématique traduit par les Arabes) nous trouvons des études mathématiques de premier plan résolues un millénaire avant les occidentaux :

  • Arithmétique des nombres positifs, négatifs et du zéro
  • Règles pour résoudre des équations du deuxième degré à deux inconnues bien avant Pell (1611-1685)
  • Formule dite de Brahmagupta pour trouver l’aire d’un quadrilatère inscrit dans un cercle ou un cylindres à partir des longueurs de ses côtés
  • Trigonométrie et amélioration de la table des sinus donnée par Aryabhata

Dans le Khandakhdyaka, Brahmagupta développe ses calculs précédents et permet d’en simplifier l’utilisation :

  • Méthode d’interpolation des sinus des angles intermédiaires
  • Les longitudes des planètes
  • Les trois problèmes de la rotation journalière
  • Les éclipses de lune et de soleil, les levers et couchers du soleil, les phases de la lune
  • Les conjonctions des planètes…

Précision de la méthode d’interpolation des sinus

Cette méthode de calcul initiée par Brahmagupta devance celle de Newton (1642-1727) et de Strirling (1692-1770) d’un millénaire et les deux méthodes sont quasiment identiques.

Il semble que le deuxième traité de Brahmagupta le Khandakhdyaka simplifie le premier puisque le Brahmasphutasiddhanta compte 24 valeurs de sinus lorsque le second en compte seulement 6. En appliquant la formule de Brahmagupta pour calculer la valeur de sinus 67°, on trouve 0,9208 lorsque les calculatrices modernes donnent 0,9205. Il s’agit donc d’une très bonne approximation.

Evolution des chiffres indiens jusqu’au système occidental

Chiffres brahmi, 1er siècle av. J.-C.

nombres-100

Chiffres gupta, IVe siècle.

nombres+400

Chiffres du traité d’Al-Sizji, 969.

nombres+1000

Chiffres du traité d’Al-Biruni, copie de 1082.

nombres+1100

Chiffres tirés d’un texte d’Al-Banna al-Marrakushi, XIVe siècle.

nombres+1300

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