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Electron – Part. 4

Les trois premières parties de ce travail d’association d’idées et de focalisation sur certains concepts me permet d’aborder plus sereinement la beauté et l’expression géométrique des formes naturelles. Les formes qui nous entoure sont variées. La forme sphérique domine les corps célestes qu’ils s’agissent de planètes ou d’étoiles. L’atome est également identifié à une sphère mais la cristallisation moléculaire révèle une pluralité des formes plus qu’intéressante au niveau symbolique et esthétique mais également au niveau des assemblages atomiques (échelle microscopique). L’apparence des « choses physiques » se complexifie, les forces se compensent, les lois d’attraction et de répulsion se manifestent « librement » pour laisser émerger un contrebalancement des contraires faisant penser inexorablement à l’harmonie par le conflit. C’est par le tiraillement des entités présentes dans la substance que les agrégats de matière se manifestent.

Les polyèdres réguliers

Les polygones réguliers sont en nombre infini. Les polyèdres réguliers sont au nombre de 5 (solides de Platon) :

Solides de PlatonTétraèdreHexaèdre (cube)OctaèdreDodécaèdreIcosaèdre
Nombre de faces4681220
Nombre d'arrêtes612123030
Nombre de sommets4862012

Le tétraèdre

Le Tétraèdre est le polyèdre le plus simple, il a 4 faces, 6 arrêtes et 4 sommets. Son groupe de symétrie est égal au nombres de permutations de ses sommets. Le tétraèdre possède 24 symétries. Les 4 rotations autour des axes qui passent par les sommets du tétraèdre sont d’amplitude 2pi/3 et 3 autres rotations possibles de pi autour des axes qui passent par les points médians de chaque arrête. Au total, le tétraèdre possède 12 rotations propres.

A gauche un exemple de cristal dendritique givré lors de sa précipitation. A droite un exemple de cristal ayant commencé sa formation sous forme de colonne puis au sommet desquelles se sont ensuite développées les faces prismatiques (plaquettes)

L’agencement des molécules d’eau dans la glace est tétraédrique :

Les atomes d’oxygène sont rouges, et les atomes d’hydrogène sont blancs. Les liaisons covalentes sont représentées en traits épais et bicolores et les liaisons hydrogène en traits fins.

Le tétraèdre régulier donne une réponse au problème « des dictateurs ennemis » dans le cas n=4 : Quelle est la taille maximale de n calottes sphériques identiques (les états de chaque dictateur) de sorte qu’elles puissent se répartir sans se chevaucher, et quelle est leur disposition ?

Les 4 calottes maximales ont un angle au centre de arcos(-1/3) rad soit 109°28’16 » et sont centrés au sommet d’un tétraèdre régulier. Les états occupent alors 61% de la surface totale.

C’est étonnant de constater qu’une peuplade d’Ecosse (il y a 4000 ans), pour le plaisir de l’art et des formes symétriques s’est déjà exprimé en ce sens :

La chiralité du carbone tétraédrique

A gauche, en noir, l’atome tétraédrique, il peut se lier à quatre atomes aux sommets d’un tétraèdre dont il est le centre. Une molécule chirale n’est pas superposable dans un miroir (symbolisé par les traits discontinus). Les configurations non superposables sont des éléments chimiques différents (avec le changement de l’atome F sur le schéma)

La chiralité montre l’importance dans la configuration spatiale (stéréochimie) des atomes dans une molécule. Que la géométrie soit impliquée dans la forme représentative des molécules, c’est toute la pensée pythagoricienne qui revient en mémoire. Les notions de cristallographie sont initiées par René Haüy (1743-1822) qui insistait sur l’approche géométrique de la structure d’assemblages des atomes. Ampère développa cette idée avec les polyèdres. Il s’agit d’une intuition commune avec les solides platoniciens, les associations d’idées de Kepler et de Robert Hooke à Alfred Werner. La stéréochimie est plus ancienne que la découverte de l’atome tétraédrique de carbone (1874) par Le Bel et Van-t Hoff.

Logiciel pédagogique : représentation spatiale des molécules http://www.librairiedemolecules.education.fr/outils/minusc/

Le cube

Le cube (hexaèdre) forme un polyèdre plus perceptible et plus facile à appréhender intuitivement que le tétraèdre. Les isométries du cube sont des rotations propres et leur complément, une antirotation. Les rotations propres sont d’une amplitude de 2pi/3 autour des axes (4) qui passent par les sommets et des rotations d’amplitude pi/2 autour des axes (3) qui passent par les centres des faces et enfin des rotations d’amplitude de pi autour des axes (6) qui passent par le points médian de chaque arrête.

Analyse cristallographique du sel (NaCl)

Le sel de cuisine (cristal cubique ci-dessous) est une molécule qui s’inscrit dans un cube, au niveau atomique mais également à l’échelle macroscopique :

En 3D, l’assemblage des ions de sodium (Na+) plus petit que les ions chlorure (Cl-) forme une cristallisation cubique :

L’arrangement des ions (+) en bleu, le sodium Na et (-) en vert, le clore Cl pour former la molécule de sel (NaCl) est de toute beauté. Simple mais beau, la cristallographie a mesurée (par diffraction) toutes les valeurs possibles et nécessaires pour comparer l’harmonie des formes par les valeurs linéaires et angulaires.

La structure cristalline du sel de cuisine NaCl (chlorure de sodium). C’est un réseau cubique à faces centrées ou les ions chlore (en vert) occupent les sommets d’un cube, et où les ions sodium (en gris) occupent les centres des arrêtes de ce cube, ou vice-versa. Les ions sodium sont également répartis en octaèdres autour de chaque ion chlore.

L’octaèdre

L’octaèdre (8 faces) devrait avoir plus de symétries que la cube mais il n’en est rien. Le cube et l’octaèdre sont des solides duaux : si l’on relie les centres des faces d’un cube on obtient un octaèdre, et vice versa. Une conséquence de cette dualité c’est que les deux solides possèdent le même nombre de symétries. Il y a 3 plans de symétrie contenant 4 arrêtes, 6 passant par les milieux de 2 arrêtes opposées et par 2 sommets.

Analyse cristallographique de l’argile

Les minéraux argileux (aluminosilicates) présentent une structure en feuillets bidimentionnels et constitués de deux types de couches :

  • La couche tétraédrique est formée de silice tétraédrique Si4+ entouré de quatre anions O2- qui constituent les sommets du tétraèdre. Chaque tétraèdre partage trois atomes d’oxygène avec les tétraèdres adjacents. Ces atomes d’oxygènes partagés sont arrangés en réseau héxagonal qui forme la base de la couche. Le bilan des charges électriques (+) et (-) n’est pas neutre : 4 + 3x(-2)/2 + 2 = -1. L’électroneutralité de la couche est obtenue par la liaison avec une couche chargée positivement ou par ajout d’un H+ sur certain O2-. L’épaisseur de cette couche tétraédrique est de 4,63 A. {Si4+ peut être remplacés par Al3+ et plus rarement par Fe3+}
  • La couche octaédrique est formée de cations Al3+ ou Mg2+ entourés de six groupements hydroxyle OH-. Ces octaèdres sont reliés entre eux par des anions communs en formant une couche plane. Le bilan des charges électriques est de +1. Pour atteindre l’électroneutralité, seulement deux sites octaédriques sur trois son occupés par un Al3+ (couche di-octaédrique de gibbsite). Dans le cas du cation Mg2+, tous les sites sont occupés, la couche est neutre. C’est la structure tri-octaédrique de brucite. L’épaisseur de la couche octaédrique est de 5,05 A. {Al3+ peut être substitué par Fe2+ et surout Mg2+}

Des couches tétraédriques et des couches octaédriques forment des feuillets, séparés par des espaces interfoliaires pouvant contenir des molécules d’eau et des ions. L’ensemble d’un feuillet et d’un espace interfoliaires est une unité structurale. Ces unités s’agencent entre elles pour formes des particules argileuses. La liaison entre la couche tétraédrique et la couche octaédrique se fait par l’intermédiaire du quatrième oxygène de la silice tétraédrique qui appartient aussi à un octaèdre du feuillet octaédrique. Les espaces interfliaires peuvent être vides (feuillets neutres) ou remplis, ils sont occupés par des cations dès que l’empilement des charges présentes un déficit de charge. Les cations les plus présents sont le calcium Ca2+, le magnésium Mg2+, le potassium K+, le sodium Na+ et le lithium Li+.

L’intuition d’A.-M. Ampère

Biographie : Pierre Laszlo (Polytechnique) – https://journals.openedition.org/bibnum/455#tocto1n3

En 1814 parut une lettre d’Ampère à M. le Comte Berthollet sur la détermination des proportions dans lesquelles les corps se combinent, d’après le nombre et la disposition respective des molécules dont leurs particules intégrantes sont composées.

un polyèdre dont chaque molécule {atome} occupera un sommet, et il suffira de nommer ce polyèdre pour exprimer la situation respective des molécules dont se compose une particule {molécule}. Je donnerai à ce polyèdre le nom de forme représentative de la particule {molécule, structure atomique}

Ampère, 1814

Il explique en fait, que les molécules se forment proportionnellement, en nombre et en nature d’atome, en fonction des assemblages géométriques possibles.

{dans la combinaisons possibles des tétraèdres et des octaèdres} on doit conclure que le corps A et le corps B ne s’uniront pas de manière qu’il y ait dans la combinaison une proportion de A et deux proportions de B ; cette autre combinaison sera facile au contraire, entre deux proportions de A et une de B, puisque deux tétraèdres et un octaèdre forment, par leur réunion, un dodécaèdre.

Ampère, 1814

Ampère a raison si l’on regarde l’analyse cristallographique de l’argile structurée en feuillet de 2 plans tétraèdriques (2 corps A) qui se superposent à un plan octaédrique (1 corps B). Ampère indique une combinaison possible en proportions égales : Réunion de deux octaèdres et de deux tétraèdres en un triacontaèdre tel qu’il le désigne :

Une structure de triacontaèdre dans un quasi-cristal de cadmium-Ytterbium, dit Cd5,7Yb (mis en évidence en 2000). Le triacontaèdre (en bas à gauche) avec ses faces en losanges et en parallélogrammes. Ces polyèdres s’encastrent à plusieurs dans des structures cubiques. Ils sont formés de plusieurs couches (en gris le cadmium, en jaune l’Ytterbium) : une première couche tétraédrique de cadmium (4 atomes), une seconde couche dodécaédrique de cadmium (20 atomes), une troisième couche icosaédrique d’ytterbium (12 atomes), chacune de 20 faces ayant en son centre l’atome de cadmium de la couche antérieure (détail dans la figure encadrée), et une quatrième couche icosidodécaédrique de cadmium (30 atomes) chacune des 12 faces pentagonales ayant en son centre l’atome ytterbium de la couche antérieure. (ESRF et CNRS)

Représentations de polyèdres par Ampère (1815)

Le dodécaèdre

Polyèdre régulier composé de 12 faces pentagonales. Le groupe présente 60 rotations propres et 120 éléments. Dix siècles avant notre ère, les Étrusques utilisaient des dès dodécaèdriques, solide de de Platon décrit en -370. Le diamètre de la sphère circonscrite est phi multiplié par (3a)1/2 soit 2,8a environ. Avec a la longueur de l’arrête du dodécaèdre. Il a 12 sommets (permutés circulairement) et 8 sommets d’un cube. On compte 15 plans de symétrie avec 6 axes de rotation passant par les 2 centres de faces opposées, 15 axes passant par les milieux de 2 arrêtes opposées et 10 axes passant par 2 sommets opposés.

Dans le domaine biologique, certains planctons holococcolithes et nannolithes présentent une forme parfaite de dodécaèdre naturel (braarudospaerales)

http://www.mikrotax.org/Nannotax3/index.php?taxon=ntax_cenozoic&module=ntax_cenozoic&dpage=1

Et le ballon de foot est une projection centrale du squelette du dodécaèdre sur la sphère circonscrite, on obtient un pavage régulier de la sphère par 12 pentagones sphériques réguliers.

Le dodécaèdre et l’icosaèdre sont deux polyèdres duaux.

L’Icosaèdre

Les faces de l’icosaèdre représentent 20 triangles, 12 sommet de degré 5 et 30 arrêtes de longueur a. Le volume de l’icosaèdre est (5/6)phi2a3 avec phi le nombre d’or. Il y a 15 plans de symétrie contenant deux arrêtes opposées. Les axes de rotation :

  • 15 axes passant par les milieux de 2 arrêtes opposées (1 rotation d’ordre 2 par axe). Amplitude pi.
  • 10 axes passant par les centres de 2 faces opposées (2 rotations d’ordre 3 par axe). Amplitude 2pi/3.
  • 6 axes passant par 2 sommets (4 rotations d’ordre 5 par axe). Amplitude 2pi/5.

Le groupe présente 60 rotations et 120 éléments. Si l’on effectue la construction par les 3 rectangles quelconque 2 à 2 orthogonaux, on obtient successivement l’octaèdre, l’icosaèdre et le cuboctaèdre.

Image mathcurve.com

La forme géométrique d’un virus (adenovirus)

Bibliographie : Elèves de terminale S (2015-2016) Lycée Barthou, PAU

La connaissance de la géométrie d’un virus permet d’optimiser son traitement qui va « casser » sa structure atomique. Les capsides virales sont des icosaèdres ou utilisent une symétrie icosaèdrique. La capside, c’est la structure protéique qui protège le génome du virus en l’emballant. Elle peut être tubulaire ou polyédrique. Les capsides sont faites de protéines virales polymérisées et on une très grande stabilité. Lorsqu’on place des protéines ayant la même charge de répulsion et la même masse, elles se placent à la surface d’une sphère selon une symétrie régulière qui dépend du nombre de protéines (ligne, triangle, carré, pentagone, hexagone…). Des particules de même charge se placent naturellement et symétriquement les unes aux autres du fait de leur force de répulsion. On sommets des capsides icosaèdriques, les faces se réunissent pour former des pentons tandis que les arrêtes et les faces forment des hexons.

Adenovirus – Icosaèdre – Capsule virale
  • L’hexon est la protéine la plus abondante et la grosse en taille. Elle compte 720 monomères (grosse protéine) et forment 240 hexons trimétriques (3 molécules) qui vont constituer les 20 faces triangulaire de l’icosaèdre.
  • La base de penton est une protéine pentamétrique (5 molécules) située au 12 sommets de l’icosaèdre. Elle joue un rôle majeur dans la structure géométrique, la fixation et l’exposition de la fibre porteuse de l’antigène à la surface de la particule virale.
  • La fibre est constituée de 3 molécules identiques (homotrimère) projetée vers l’extérieur sur les 12 sommets de l’icosaèdre. La tête de la fibre permet de reconnaître le récepteur à la surface de la cellule cible lors de l’infection par adenovirus.

Cristaux et minéraux

Cristallographie

Un cristal, c’est la base de la matière qui nous entoure et son étude s’effectue à l’échelle microscopique même la symétrie passe à l’échelle de l’œil humain c’est à dire l’échelle macroscopique.

Un cristal c’est la forme thermodynamique stable de la plupart des solides à basses températures. La symétrie d’un cristal est définie par son groupe d’espace dont chaque élément est le produit d’une translation par la rotation autour d’un point donné. Si on ne considère que les rotations, elles forment aussi un groupe (fini) appelé groupe ponctuel. Certaines propriétés ne dépendent que du groupe ponctuel. Un cristal à un seul atome par maille (comme le fer et beaucoup de corps simple) s’appelle un réseau de Bravais.

Il existe 32 groupes ponctuels et 230 groupes d’espace comme l’ont démontré indépendamment Schönflies et Fedorov en 1890. Il existe 14 réseaux de Bravais (1848). Ces nombres résultent de la solution d’un pur problème de maths, comparable à l’énumération descriptive des 5 polyèdres réguliers (Euclide).

Schémas originaux de Bravais

A quoi servent les groupes d’espace et ponctuel ?

Bibliographie : Symétrie et théorie des groupes à travers la physique – Jacques Villain (2009)

Certaines propriétés physiques existent ou n’existent pas selon la symétrie du cristal, c’est à dire selon son groupe d’espace ou son groupe ponctuel. La pyroélectricité est caractérisé par un moment dipolaire électrique par maille P non nul. Toute opération de symétrie doit préserver la direction de la polarisation du cristal pyroélectrique. Le seul axe de rotation possible est donc parallèle à P. Et il ne pas peut pas y avoir de plan miroir perpendiculaire à P. Cela n’autorise que les groupes ponctuels Cn, Cnv et C1h.

  • Le groupe C1 est constitué par l’élément unité seul, il est triclinique.
  • Le groupe Cn comporte un axe de rotation d’ordre n = 2, 3, 4, 5 et rien d’autre.
  • Le groupe Cnv comporte un miroir (plan de symétrie) parallèle à cet axe.
  • Le groupe C1h est constitué par l’élément unité et un miroir.

Plus simple encore, la biréfringence existe pour tous les cristaux non cubiques. La forme du tenseur de permittivité électrique epsilon est défini par D = epsilon.E avec E et D respectivement le champ et le déplacement électrique. Il y a biréfringence si la matrice epsilon n’a pas ses valeurs propres dégénérées.

Classification des minéraux

Images CNRS

Symétries en physique

  • En mécanique quantique : factorisation des fonctions d’onde en une fonction déterminée par les symétries et une fonction d’onde dépendant, explicitement du système considéré, prévision de la dégénérescence des niveaux d’énergie et des bons nombres quantiques, etc.
  • Dans l’étude des molécules : classification des niveaux électroniques et de smodes de vibrations, prévision de leur activité en spectroscopie (Raman, Rayleigh, THz, neutron).
  • En matière condensée : description des excitations collectives élémentaires (phonons, magnons, excitons…) ; dans la forme des propriétés tensorielles des cristaux, qui traduisent la réponse de ces systèmes à une perturbation extérieure, telle qu’un champ électrique ou magnétique, un contrainte ou la température. Par exemple : pyroélectricité, effet électrocalorique {réponse électrique à une variation de température et inversement}, piézoélectricité et l’électrostriction {réponse électrique à une contrainte mécanique et inversement}, ferroélectricité {réponse électrique via polarisation par champ électrique}, l’élasticité, le ferromagnétisme, l’expansion thermique et l’effet piézocalorique {réponse mécanique à une variation de température et inversement}, la magnéto-électricité, le piézomagnétisme et la magnétostriction, l’effet électro-optique et magnéto-optique {réponse optique sous la forme d’une polarisation rotatoire ou de biréfringence à un champ magnétique et électrique), etc.

Classification des cristaux de glace

La formation des cristaux dépend de certaines conditions :

Diagramme montrant la morphologie observée des cristaux de neige en fonction de la température et de la sursaturation régnant lors de leur formation. La courbe de saturation de l’eau, plus élevée que celle de la glace, est indiquée ; les saturations plus importantes que la saturation de l’eau peuvent se trouver dans les nuages mixtes. (Libbrecht, 2005)

Cristallographie de la glace Ih

Bibliographie : Thèse d’état – Contribution à l’élaboration d’un modèle d’évolution physico-chimique de la neige Josué Block (2012), université de Grenoble)

De par leur géométrie non linéaire et leur moment dipolaire, les molécules d’eau créent, en phase condensée, des liaisons hydrogène. Chaque atome d’oxygène est relié à quatre atomes d’hydrogènes différents au travers de 2 liaisons covalentes et 2 liaisons hydrogène. Chaque molécule d’eau est entourée de 4 autres molécules d’eau qui sont disposées aux sommets d’un tétraèdre régulier (voir § Tétraèdre dans la section polyèdres réguliers en haut de l’article). La glace Ih est formée d’un empilement régulier de ces tétraèdres.

Arrangement des atomes d’oxygène dans la glace Ih : maille élémentaire (à gauche) et vue parallèle à l’axe c (à droite). Les longueurs des côtés de la maille élémentaire sont a0 = 4,5 A et c0 = 7,34 A.

Le cristal de neige est obtenu par la reproduction périodique d’un motif (maille élémentaire) dans lequel on retrouve la coordination tétraédrique des molécules. En représentant quelques mailles, la structure hexagonale apparait dans le plan normal à l’axe c.

Arrangement des atomes d’oxygène dans la glace Ih : vue normale à l’axe c (à gauche) et le long de l’axe c (à droite). Les molécules d’eau formant un « plan » normal à l’axe c sont en fait réparties sur 2 niveaux (bicouche) bien visible sur le plan central d ela projection à gauche.

La glace est donc constitué d’un empilement de couches présentant cette structure hexagonale, qui se traduit par une anisotropie : ses propriétés sont différentes selon l’orientation considérée. Cette structure anisotrope, à symétrie hexagonale, va se conserver lors de la croissance cristalline, et se retrouve à l’échelle macroscopique dans la forme des flocons de neige.

Croissance des flocons de neige

Les flocons de neige (comme la pluie et la grêle) se forment dans les nuages stratosphériques. Les nuages mixtes contiennent également de l’eau liquide et de la glace (ou que de la glace à -40°C). C’est la congélation de gouttelettes d’eau ou la condensation de vapeur d’eau (nucléation). Souvent, la nucléation est hétérogène. La tension de vapeur saturante étant plus élevé au dessus de l’eau qu’au dessus de la glace, un flux de vapeur d’eau s’établit des gouttelettes vers les cristaux, et de la glace va donc croître au détriment des gouttelettes d’eau. C’est l’effet Bergeron (1935), et son intensité est maximale lorsque la différence des pressions saturantes au-dessus de la glace et au-dessus de l’eau est plus importante entre -10 et -15°C.

Les cristaux de neige révèlent une grande diversité de formes. Mais la structure cristallographique Ih est commune à tous les cristaux de neige et est à la base de toutes les géométries observées.

Cristal macroscopique muni de ses axes cristallographiques c et a ; les deux faces basales sont normales à l’axe c, les six faces prismatiques sont normales aux composantes des axes pris deux à deux.

Il existe une alternance entre les formes aplaties (plaquettes, cristaux dendritiques), observées entre 0 et -4°C puis entre -9 et -22°C, et des formes allongées (prismes, colonnes, aiguilles), observées entre -4 et -9°C et au dessous de -22°C. Dans le premier cas, les formes allongées s’expliquent par une croissance privilégiée des faces prismatiques, tandis que les formes s’expliquent par une croissance plus rapide des faces basales.

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