Les découvertes et les progrès en mathématique sont liées aux développements de la formalisation des sciences appliquées dans le domaine de la physique (les 4 éléments), de l’astronomie (trajectoire des corps célestes), du commerce (les nombres relatifs), de l’électronique (théorie de l’information)…

• (Antiquité) Description des différents systèmes de comptage.
• Les premiers modèles géométriques et leur utilisation au quotidien.
• Les polyèdres (géométrie et harmonie numérique).
• Les fonctions, les dérivées et l’étude aux limites.
• Les probabilités.
• Les nombres (entiers naturels, rationnels, irrationnels, complexes…)
• L’analyse et les fonctions complexes.
• La conférence de Hilbert (1900) et la géométrie non-euclidienne.
• Le formalisme vectoriel de Dirac et la mécanique quantique
• L’algèbre de Boole et les outils mathématiques pour l’électronique.

Origine humaine, hasardeuse ou divine ?

La question n’est pas dénuée de sens si l’on tient compte du fait que les mathématiques présentent une ambiguïté :

• Soit les mathématiques sont « connues/utilisées » par la nature, avant le règne humain qui redécouvre par la suite, les lois harmoniques…
• Soit les mathématiques sont inventées par le règne humain et les correspondances employées structurent notre perception de la réalité ou entretient notre illusion d’un monde basé sur des lois harmoniques…

Dans tous les cas, au final, les mathématiques décrivent des lois harmoniques… Pourquoi la nature est-elle harmonique dans ses proportions ? Spirales et nombres se côtoient pour dessiner la beauté naturelle.

La didactique des mathématiques, c’est l’intérêt qui résulte d’une compréhension aisée ne nécessitant aucun niveau préalable. Tout le monde peut comprendre les maths, il suffit, pour cela, d’en visualiser le sens associé aux symboles.

Processus créatifs

 D’un point de vue psychologique, une représentation quaternaire peut émerger des processus créatifs en maths :

• Préparation ;
• Incubation ;
• Illumination ;
• Vérification ;

La préparation (1) concerne le motif sur lequel on « pose sa réflexion » à partir d’éléments connus. L’incubation (2) permet à l’inconscient ou à tout autre phénomènes intuitifs ou imaginatifs de stimuler la pensée créatrice suffisamment claire et froide pour discerner « le subtil de l’épais ». Mais la pensée doit (également) être assez « chaude pour embraser » les éléments assemblés qui dégagent finalement une lumière qui éclaire et illumine (4) l’espace obscur nouvellement découvert. Dans toute approche créatrice, il faut apprendre à marcher seul, et dans le noir. C’est bien dans le creuset obscur de soi-même que les idées lumineuses émergent de la conscience humaine. Enfin, la vérification (4) permet de valider (ou pas) les résultats obtenus.

Pour certains psychologues et pour Poincaré aussi, le processus créatif émerge d’une posture nouvelle face à un problème, comme une nécessité de transgresser l’interprétation conventionnelle et de dépasser les représentations habituelles par un détachement nécessaire à l’éloignement suffisant. Et une persistance réflexive pour résoudre le problème en apportant une nouvelle solution, un nouveau point de vue et donc une vision nouvelle du monde (lorsque la problématique est systémique) et finalement un éclairage nouveau des perceptions humaines qui en prennent conscience.

La créativité est au cœur du problème de la vie… Vie et créativité sont deux termes synonymes.

Définition de l’heuristique

Une approche classique des mathématiques (comme en géométrie euclidienne) donne une image rigoureuse de la science car l’analyse est systémique et déductive. Mais le travail en mathématique concerne également le cadre d’une expérimentation vérificatrice initiée par un processus inductif nécessaire aux méthodes de créativité.

Les processus d’analyse de l’inventivité et de la créativité en mathématique porte le nom d’Heuristique. L’heuristique cherche à comprendre les mécanismes du renouveau théorique. Originaire du grec heuristekê, l’art de trouver, les heuristiques désignent les techniques d’aide à la découverte.

Les différentes variantes de ces techniques sont :

• Pour le philosophe, le philologue et l’historien : hypothèses émises à titre provisoire pour aider à la recherche de faits saillants ;
• Pour le pédagogue : méthode qui fait découvrir aux élèves ce qu’on souhaite leur enseigner ;
• Pour l’informaticien : approche décisive pour abréger certaines « boucles de computation » lorsqu’une formulation d’instruction devient trop vague pour qu’un algorithme (succession ordonnée de calculs élémentaires) trouve une solution en un temps raisonnable.

En mathématique, l’heuristique s’identifie à l’analyse globale des systèmes formels qui circonscrivent parfaitement l’ensemble des théorèmes mathématiques démontrables dans un système d’axiomes donné.

Pour Polya, les quatre phases fondamentales pour résoudre un problème mathématique sont :

• Comprendre le problème ;
• Élaborer un plan pour le résoudre ;
• Mener à bien ce plan ;
• Examiner la solution obtenue et revoir le processus.

Ces différentes étapes concernent l’approche des problèmes à trouver que Polya cherche à démontrer.

La transmission du savoir

Quel est la conséquence directe d’une transmission du savoir ? L’occident récupère les découvertes et le progrès technologique accumulé au cours des siècles en orient. De l’orient vers l’occident, à partir de la renaissance, les européens développent l’analyse matérialiste initiée par Aristote qui est, il faut l’admettre, principalement basée sur le principe de causalité et sur la logique du syllogisme. C’est au début du 20^ième siècle que le paradigme scientifique évolue radicalement… Si Aristote avait coupé les ponts avec les « idées de Platon », c’est le mathématicien anglais Roger Penrose qui, à la fin du 20^ième siècle, dans ses efforts pour unifier la mécanique quantique et la relativité retrouve « l’espace platonique ».