Globalement, il existe la logique déductive de la physique des phénomènes et la logique inductive de la métaphysique du noumène. Curieusement, la méthode déductive est très proche de la perfection lorsque l’on constate son existence. Il me semble évident que cette méthode déductive est récupérée des chaldéens qui eux-mêmes l’héritent d’une connaissance (orale) pré-védique.

1. Il était une fois…
   • Raisonnement par l’absurde
   • Xénocrate
   • Les Stoïciens
   • Aristote
2. Le raisonnement par analogie

Il était une fois…

Dans sa formulation théorique, la logique des philosophes ioniens émerge de la perpétuelle recherche d’arguments pour expliquer le monde. La tradition mathématique est unanime pour affirmer que le développement de la méthode déductive est issu de l’école pythagoricienne vers la fin du VI^e et le milieu du V^e siècle. A partir de cette approche déductive, pleinement consciente de ses buts et de ses méthodes, la réflexion philosophique et mathématique qui émerge construit progressivement la logique formelle pour aboutir à la création des langages formalisés. Ce n’est qu’après le développement de la Théorie des ensembles au début du XIX^e siècle que la communauté s’efforce d’éclaircir la « nature des concepts de base des mathématiques ».

Il faut dire, qu’à l’époque des grecs, la réflexion mathématique est bien plus en avance que la réflexion philosophique. En tout cas, ceci est vrai à partir des grecs. Car les peuples plus anciens étaient certainement plus subtil pour aborder les différentiations cognitives.

Au VII^e et VI^e siècle (av. J.-C.), les « sages philosophes » développent de vagues raisonnements fondés sur des analogies approximatives. C’est donc à partir du V^e siècle que la pensée grecque s’évertue à étendre dans tout le champ de la pensée humaine (et cosmologique) les procédés d’articulation du discours mis en œuvre par la rhétorique et les mathématiques pour créer « la logique » au sens le plus général de ce terme. Parménide trouve la première affirmation du principe du tiers exclu et Zénon d’Élée les démonstrations par l’absurde. Ces deux penseurs dégagent des principes généraux qui peuvent servir de base à leur dialectique.

Raisonnement par l’absurde

C’est vers la fin du Ve siècle qu’un bel exemple du raisonnement par l’absurde affirme l’irrationalité de « racine carré de 2 ». Globalement, ce sont donc les sophistes (Ve siècle) qui développent l’art oratoire et l’analyse du langage.

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Xénocrate

énocrate considérait la logique comme une partie de la philosophie. Les deux autres parties étaient la philosophie naturelle ou la physique (physis en grec) et la philosophie morale ou éthique. Ainsi, la logique est la partie de la philosophie qui concerne la raison. Pour Aristote, c’est différent, les représentants de son école nommaient traditionnellement l’Organon qui signifie « instrument », les outils de la philosophie qui incluait globalement la logique. Ainsi, pour les aristotéliciens (deux ou trois siècles après Aristote), la logique n’est pas une partie de la philosophie, mais un instrument pour la conduire à bien. En fait, Aristote ne parlait pas de logique même s’il s’efforcer de codifier les règles des « discussions » tout en précisant les règles des raisonnements scientifiques. Aristote parlait « d’analytique » et non de logique.

Les Stoïciens

Après Xénocrate, les stoïciens définissent avec plus de précision le contenu de la logique. Pour eux, la logique comprend trois disciplines :

• la dialectique comme discours et raisonnements par questions/réponses, Socrate était un spécialiste de ce genre de discours ;
• la rhétorique comme discours et raisonnements continus ;
• L’idée d’une théorie de la connaissance (gnosis).

Dans les tous les cas, le raisonnement comporte deux composantes :

• Le signifiant qui est l’énoncé lui-même (celui qui parle)
• Le signifié qui résulte de ce que l’on comprend.

Celui qui parle signifie sa pensée en l’exprimant, les stoïciens disent que c’est l’objet de la pensée qui est signifié. L’étude des signifiés comprend la théorie des énoncés simples ou « propositions » et la théorie des raisonnements (énoncés) composés de plusieurs propositions que les grecs stoïciens nommaient « logique ».

L’analyse d’Aristote est plus simple et plus précoce que celle des stoïciens. Aristote ne distinguait pas le signifiant du signifié, il théorisait les énoncés simples et les règles qui permettent de tirer des conclusions valides en raisonnant. Il distingue un type particulier d’énoncé élémentaire, l’énoncé vrai ou faux. Il s’agit donc d’une « proposition » dont ses composantes sont le « sujet » et le « prédicat ». Pour Aristote, les pensées ressemblent aux choses, les mots parlés symbolisent les pensées et les mots écrits représentent les mots parlés. Je résume souvent cette « descente de l’abstrait dans le concret » par :

Les mots ne peuvent que limiter la nature, le sens et la portée d’une pensée.

C’est toute la difficulté du penseur qui souhaite « sortir de sa tête » les pensées impalpables qui flottent au dessus du nuage des petites choses connaissables.

Il y a toujours une réduction de la pensée lorsqu’elle est convertie en mots.

Dans cette perspective, j’imagine qu’Aristote élabore son système logique en désignant les formes valides de déduction qui permettent de réduire les raisonnements complexes aux formules les plus simples ; d’où le nom « d’analytique » qu’il définie. Aristote concentre donc son attention sur un type particulier de relations et d’enchaînements logiques, construisant ce qu’il appelle « le syllogisme. »

Aristote

Pour formaliser sa pensée, Aristote emprunte certainement aux mathématiciens, la notation des concepts ou des propositions à l’aide des lettres. Par exemple, et cela est connu par tous les collégiens du monde entier maintenant, une « valeur inconnue » dans un problème mathématique est représentée par la lettre « x » qu’il s’agisse d’une longueur à déterminer, d’un volume ou de tout autre chose.

Aristote utilise donc des « énoncés schématisés » comme « Tout A est B » ou « Quelque A est B ». Dans ces notations A est le « sujet » et B le « prédicat » ; ces deux lettres remplacent des concepts comme « homme » et « mortel » par exemple. Ainsi des « ensembles d’êtres » peuvent être associés à des concepts, c’est le point de vue de « l’extension » qui existait avant lui.

Par exemple, l’ensemble « A » est associé à « homme » et l’ensemble « B » est associé à « mortel » ; Aristote formalise donc la relation « Tout A est B » soit « Tout homme est mortel » ! Logique non ? Dans le langage formel des mathématiques, l’écriture est :

Cette relation comme « Tout A est B » est dit « de la compréhension » où B est envisagé comme un concept plus complexe que A. En effet, la notion « de la mort » est plus complexe que la notion « d’homme ». Le point de vue « de la compréhension » pose plus de problème dans le développement de la logique que le point de vue « de l’extension » surtout lorsque les relations interprètent des schémas où interviennent des négations.

Le syllogisme est donc un schéma abstrait de raisonnement basé sur la logique. En utilisation la formalisation du langage de la théorie des ensemble, nous avons :

Il est donc facile de généraliser des concepts complexes par des relations simples qui « prennent peu de place ».

Ainsi pour schématiser, dans le langage mathématique (de la théorie des ensembles) le syllogisme structuré par Aristote (à propos de la mortalité des grecs) est :

Logique non ? C’est justement le propos ! Aristote a également le mérite d’avoir distingué le rôle des propositions « universelles » de celui des propositions « particulières », première ébauche des quantificateurs. Dans le langage moderne, un quantificateur permet de symboliser/formaliser des expressions comme « pour tout », « il existe », « il existe un unique »… qui correspondent respectivement aux symboles :

Aristote reste donc, jusqu’au XVII^e siècle (ap. J.-C.), la référence dans la structure de l’argumentation logique. Même si les philosophes scolastiques ont apporté quelques contributions à la logique formelle, aucun progrès notable, enrichi (réellement) l’acquit des philosophes de l’Antiquité. Il faut dire que les philosophes négligent les études mathématiques et bloquent donc les progrès de la logique. En effet, les mathématiciens grecs poursuivent leurs recherches sur la route des Pythagoriciens et des successeurs comme Théodore, Théétète, Eudoxe… Et cela, sans se soucier de logique formelle car la souplesse et la précision acquise dès cette époque par le raisonnement mathématique est très développé quand on le compare à l’état rudimentaire de la logique aristotélicienne. Et lorsque la logique dépasse ce stade, elle se laisse guider dans son évolution par les nouvelles acquisitions mathématiques.

Le raisonnement par analogie

 Puisque la formalisation du langage est maintenant acquise, il est aisé de comprendre l’expression logique du raisonnement par analogie.

« C est à D comme A est à B ».

Il permet de découvrir le 4^e terme D connaissant les trois autres ; ou de découvrir la relation entre C et D, connaissant les quatre éléments.

Exemple : la Table d’Émeraude d’Hermès Trismégiste (Égypte) : « Ce qui est en haut est comme ce qui est en bas et ce qui est en bas est comme ce qui est en haut pour les miracles d’une seule et même chose… »